IME / ITA ⇒ (ITA - 2000) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[B005]

Duas retas [tex3]r_1 \text{ e } r_2[/tex3] são paralelas à reta [tex3]3x-y=37[/tex3] e tangentes à circunferência [tex3]x^2+y^2-2x-y=0[/tex3]. Se [tex3]d_1[/tex3] é a distância de [tex3]r_1[/tex3] até a origem e [tex3]d_2[/tex3] é a distância de [tex3]r_2[/tex3] até a origem, então, [tex3]d_1+d_2[/tex3] é igual a:

a)[tex3]\sqrt{12}[/tex3]
b)[tex3]\sqrt{15}[/tex3]
c)[tex3]\sqrt{7}[/tex3]
d)[tex3]\sqrt{10}[/tex3]
e)[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

[fabit]

Sendo paralelas a 3x-y=37, são perpendiculares a x+3y=0 e possuem equações do tipo 3x-y=k.

A condição de tangência à circunferência dada é resolver o sistema que cai numa quadrática e forçar o discriminante a se anular: os dois valores de k são o que diferencia as retas r1 e r2:

[tex3]{\{{3x-y=k}\\{x^2+y^2-2x-y=0}}\Rightarrow{\{{y=3x-k}\\{x^2+(3x-k)^2-2x-(3x-k)=0}}[/tex3]

[tex3]x^2+9x^2-6kx+k^2-2x-3x+k=0\Rightarrow10x^2-(6k+5)x+k^2+k=0[/tex3]

[tex3]\Delta=(6k+5)^2-4.10\cdot (k^2+k)=36k^2+60k+25-40k^2-40k=-4k^2+20k+25[/tex3]

[tex3]\Delta=0\Rightarrow k^2-5k-\frac{25}{4}=0\Rightarrow k=\frac{5\pm\sqrt{25+25}}{2}=\frac{5\pm5\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Os sistemas entre x+3y=0 e cada uma das paralelas r1 e r2 nos dá seus pontos mais próximos à origem, a partir dos quais mediremos (Pitágoras) as distâncias d1 e d2. Melhor ainda, observando que os valores de k têm sinais opostos, d1 e d2 não se superpõem, permitindo concluir que d1+d2 será a distância entre os pontos P e Q, soluções respectivas dos sistemas:

[tex3]\begin{cases}3x-y=\frac{5+5\sqrt{2}}{2}\\{x+3y=0}\end{cases}[/tex3] e [tex3]\begin{cases}3x-y=\frac{5-5\sqrt{2}}{2}\\{x+3y=0}\end{cases}[/tex3]

Então [tex3]P=\(\frac{15+15\sqrt{2}}{20};\frac{-5-5\sqrt{2}}{20}\)[/tex3] e [tex3]Q=\(\frac{15-15\sqrt{2}}{20};\frac{5\sqrt{2}-5}{20}\)[/tex3] e aí:

[tex3]d_1+d_2=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{\(\frac{30\sqrt{2}}{20}\)^2+\(\frac{10\sqrt{2}}{20}\)^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{5}[/tex3].

Letra E

[B005]

É isso aí fabit,obrigado pela resolução!