Ensino Médio ⇒ AREF Triângulos Tópico resolvido

[marcelojr]

Resolva um triângulo retângulo cujo semi perímetro mede [tex3]\sqrt{3} + \sqrt{2}[/tex3] e o raio da circunferência circunscrita [tex3]\sqrt{2}[/tex3], dados: sen(75°) = ([tex3]\sqrt{6} + \sqrt{3}[/tex3] ) / 4 e sen(15°) = ([tex3]\sqrt{6} - \sqrt{2}[/tex3])/ 4

[LucasPinafiMOD]

[tex3]a+b+c= 2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 [/tex3] (c é a hipotenusa)
[tex3]A = \frac{abc}{4R} = \frac 1 2 ab \Longrightarrow \frac c {2R} = 1 \Longrightarrow c = 2R [/tex3] (esse resultado é óbvio);
[tex3]c = 2\sqrt 2 [/tex3]
Portanto,
[tex3]a+b = 2 \sqrt 3 [/tex3]
[tex3](a+b)^2 = 12 =a^2 +2ab+b^2 = 12 \Longrightarrow (a^2 +b^2 ) + 2ab = 12 \Longrightarrow c^2 +2ab = 12 \Longrightarrow 8 +2ab =
12 \Longrightarrow ab = 2 [/tex3]
Assim, [tex3]a + b = 2\sqrt 3 [/tex3] e [tex3]ab = 2[/tex3]. Portanto,
[tex3]a+ \frac 2 a = 2\sqrt 3 \Longrightarrow a^2 - 2\sqrt 3 a +2=0\Longrightarrow a= \frac{2\sqrt 3 \pm \sqrt{12-8}}{2} = \frac{2\sqrt 3 \pm 2}{2} = \sqrt 3 \pm 1\\ a =\sqrt 3 + 1 \text { e } b = \sqrt 3 - 1 [/tex3]
ou vice versa
Segue que,
[tex3]\sen \theta_1 = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt 3 + 1 }{2\sqrt 2 } = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2 }{4} \Longrightarrow \theta _1 = 75^{\circ}
\\ \theta _2 = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} [/tex3]
Portanto, o triângulo retângulo possui:
catetos iguais a [tex3]\sqrt 3 \pm 1[/tex3] e hipotenusa [tex3]2\sqrt 2 [/tex3]
Ângulos de 75° 15° e 90°.