Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP - 2006) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[rean]

Um triângulo retângulo de vértices [tex3]A,[/tex3] [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] é tal que [tex3]\overline{AC} = 6 \text{cm},[/tex3] [tex3]\overline{AB} = 8 \text{cm}[/tex3] e [tex3]\overline{BC} = 10 \text{cm}.[/tex3] Os segmentos [tex3]AC , AB[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo [tex3]ABC.[/tex3] Seja [tex3]O[/tex3] o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam [tex3]D, E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] os centros dos quadrados com lados [tex3]BC , AC[/tex3] e [tex3]AB ,[/tex3] respectivamente.

a) Calcule os comprimentos dos segmentos [tex3]DO, EO[/tex3] e [tex3]FO .[/tex3]
b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices [tex3]D, E[/tex3] e [tex3]F.[/tex3]

[petrasMOD]

Questão Antiga


O é ponto médio da hipotenusa BC [tex3]\rightarrow CO =\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5~cm[/tex3]

[tex3]EG = CG = \frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3~cm[/tex3]

[tex3]FH = AH = \frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4~cm[/tex3]

[tex3]\Delta _{CGO}\sim\Delta _{CAB}\rightarrow \frac{GO}{AB}=\frac{CG}{CA}=\frac{GO}{8}=\frac{3}{6}\rightarrow GO=4\therefore EO = EG +GO =3+4=7cm [/tex3]

[tex3]\Delta _{OHB}\sim\Delta _{CAB}\rightarrow \frac{OH}{AC}=\frac{BH}{AB}=\frac{OH}{6}=\frac{4}{8}\rightarrow OH=3\therefore FO = FH +OH =4+3=7cm [/tex3]

b)
Lei dos Cossenos [tex3]\Delta_{EOD}\rightarrow DE^2=7^2+5^2-2.7.5.cos(\beta +90^0)=74-70cos(\beta+90^o) = 74+70sen\beta [/tex3] mas [tex3]sen\beta= \frac{AC}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} \therefore DE^2 = 74+(70.\frac{3}{5})=116 \therefore DE= 2\sqrt{29}~cm[/tex3]

Lei dos Cossenos [tex3]\Delta_{FOD}\rightarrow DF^2=7^2+5^2-2.7.5.cos(\alpha +90^0)=74-70cos(\alpha+90^o)=74+70sen\alpha [/tex3] mas [tex3]sen\alpha= \frac{AB}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \therefore DF^2 = 74+(70.\frac{4}{5})=130 \therefore DF= \sqrt{130}~cm[/tex3]

FE=? Como FO =EO temos que EF será igual a diagonal de um quadrado de lado 7 cm. Portanto [tex3]FE = 7\sqrt2~cm[/tex3]

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