Ensino Médio ⇒ Conjuntos Numéricos: Mínimo Múltiplo Comum Tópico resolvido

[barbarahass]

Sabendo-se que o produto de dois números naturais é [tex3]720[/tex3] e que o mínimo múltiplo comum desses mesmos números é [tex3]180,[/tex3] determine-os.

Resposta:

---

[tex3]4[/tex3] e [tex3]180[/tex3]
ou
[tex3]20[/tex3] e [tex3]36[/tex3]

Algúem poderia me ajudar na resolução? Obrigado

[petrasMOD]

Questão Antiga

mmc(x,y) = M
mdc(x,y) = D

"O produto de dois números é igual ao produto de seu mmc pelo seu mdc."

xy = M*D
720 = 180*D
D = 720/180
D = 4

Dividindo-se "x" e "y" pelo respectivo mdc (=D), obteremos quocientes que serão primos entre si, pois todo e qualquer fator comum entre "x" e "y" estará embutido em seu mdc:
x/D = p → x = p.D
y/D = q → y = q.D

xy = pq . D²
pq = xy/D² = 720/4² = 720/16 = 45

Divisores de 45 → 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Pares de fatores que poderemos formar, cujo produto seja igual a 45:
1.45
3.15
5.9

Como "p" e "q" devem ser primos entre si, descartaremos o par 3.15, por terem o fator 3 em comum, restando:
1.45 → p'=1 ; q'=45 (ou vice-versa, é indiferente aqui)
5.9 → p"=5 ; q"=9

Assim, os possíveis valores para "x" e "y" são:

x' = p'.D = 1.4 = 4
y' = q'.D = 45.4 = 180

x" = p".D = 5.4 = 20
y" = q".D = 9.4 = 36
(Resolução do Mestre Ivomilton)