IME / ITA ⇒ (EFOMM - 2008) Trigonometria e Números Complexos Tópico resolvido

[Thadeu]

É bem conhecida a relação [tex3]cos\theta\,=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}[/tex3], onde [tex3]\theta[/tex3] é um ângulo em radiano e [tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3]. Dada a relação podemos concluir que se [tex3]\theta[/tex3] é um imaginário puro da forma [tex3]bi ,[/tex3] onde [tex3]b\in\,\mathbb{R},[/tex3] [tex3]cos\theta[/tex3] é um número:

a) entre [tex3]{-}1[/tex3] e [tex3]1[/tex3]
b) maior que [tex3]{-}1[/tex3] e menor que [tex3]0[/tex3]
c) maior que [tex3]1[/tex3]
d) igual a [tex3]1[/tex3]
e) imaginário puro

[Beastie]

Se [tex3]\theta=bi[/tex3], com [tex3]b\in \mathbb{R},[/tex3] então :

• [tex3]cos\theta=\frac{e^{bi^2}+e^{-bi^2}}{2}=\frac{e^b+e^{-b}}{2}[/tex3]

Desenvolvendo:

• [tex3]cos\theta=\frac{(e^b+e^{-b}).e^b}{2.e^b}=\frac{e^{2b}+1}{2e^b}[/tex3]
  [tex3]=\frac{(e^{2b}-2e^b+1)+2e^b}{2e^b}=\frac{(e^b-1)^2}{2e^b}+1[/tex3]

Como [tex3]\frac{(e^b-1)^2}{2e^b}>0,[/tex3] então [tex3]cos\theta>1.[/tex3]

[Thadeu]

Beastie, muito obrigado pela sua ajuda.

Grande abraço!