Pré-Vestibular ⇒ (UNESP - 1996) Matrizes Tópico resolvido

[Natan]

Considere as matrizes reais [tex3]2\times 2[/tex3] do tipo [tex3]A(x)=\left[\begin{array}{cc} \cos x & \sen x \\ \sen x & \cos x \end{array}\right][/tex3]

a) Calcule o produto [tex3]A(x)\cdot A(x).[/tex3]
b) Determine todos os valores de [tex3]x \in [0, 2\pi][/tex3] para os quais [tex3]A(x)\cdot A(x) =A(x).[/tex3]

Resposta:

---

a) [tex3]\left[\begin{array}{cc} 1 & \sen 2x \\ \sen 2x &1 \end{array}\right][/tex3]
b) [tex3]x=0[/tex3] ou [tex3]x=2\pi[/tex3]

[petrasMOD]

Questão Antiga

[tex3]\begin{pmatrix}
\cos x\cdot \cos x + \sen x\cdot \sen x &\sen x\cdot \cos x + \sen x\cdot \cos x \\
\sen x\cdot \cos x + \sen x\cdot \cos x & \sen x\cdot \sen x + \cos x\cdot \cos x
\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos ^2x + \sen ^2x &2\sen x\cdot \cos x \\
2\sen x\cdot \cos x & \sen ^2x + \cos ^2x
\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 &\sen (2x) \\
\sen (2x) & 1
\\
\end{pmatrix}[/tex3]

b)

I) [tex3]\cos x = 1 \, \rightarrow \, x = 0[/tex3] ou [tex3]x = 2\pi [/tex3]

II) [tex3]2\sen x\cos x = \sen x \rightarrow [/tex3] como [tex3]\cos x =1\rightarrow 2\sen x= \sen x \rightarrow 2\sen x-\sen x = 0 \rightarrow \sen x = 0 \rightarrow x = 0[/tex3] ou [tex3]x = 2\pi [/tex3]


No intervalo [tex3][0,\,2\pi][/tex3] teremos [tex3]\boxed {x=0~ou~x=2\pi }[/tex3]