IME / ITA ⇒ (ESPCEX-96) Função quadrática Tópico resolvido

[VictorLuz]

Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, um dos quais formará um quadrado e outro, um triângulo equilátero. Para que a soma das áreas do quadrado e do triângulo seja mínima, o fio deve ser cortado de forma que o comprimento do lado do triângulo seja igual a:

A)3L/7
B)L(9-4√3)/11
C)√3L/9+4√3
D)3L/2
E)√3L/3


Gabarito: B

[LucasPinafiMOD]

Seja L = 4x + 3y o comprimento total do fio.
Cortamos ele em duas partes.
L1 = 4x
L2 = 3y
onde o primeiro forma um quadrado de lado x e o segundo um triângulo equilátero de lado y.
[tex3]A_1 = x^2 \\ A_2 = \frac {\sqrt 3 } 4 y^2 [/tex3]
[tex3]A_1 + A_2 = x^2 + \frac {\sqrt 3 } 4 y^2 = \left(\frac{L-3y}{4} \right)^2 + \frac{\sqrt 3 }{4} y^2 \\ f(y) = \frac 1 {16} \left(L^2 - 6Ly+9y^2 + 4\sqrt 3 y^2 \right) = \frac 1 {16} \left(L^2 -6Ly+y^2 ( 9+4\sqrt 3 ) \right)
[/tex3]
Queremos minimizar f, então
[tex3]y_V =- \frac{b}{2a} = - \frac{-6L}{2(9+4\sqrt 3 )}= \frac{3L(9-4\sqrt 3 )}{9^2 - (4\sqrt 3 )^2} = \frac{9-4\sqrt 3}{11}L[/tex3]

[lorramrj]

Outra forma de resolver:

:> Temos um pedaço [tex3]x[/tex3] para formar o triângulo equilátero.
:> Temos um pedaço [tex3]L-x[/tex3] para formar o quadrado.

Os lados do quadrado será: [tex3](L-x)/4[/tex3]
Os lados do triângulo será: [tex3]x/3[/tex3]

:> Área do quadrado:
[tex3]Aq = (\dfrac {L-x}{4})^2 = \dfrac{(L-x)^2}{16}[/tex3]

:> Área do triângulo:
[tex3]At = \dfrac {\sqrt {3}x^2}{36} [/tex3]

[tex3]S(x) = Aq + At = \dfrac{(L-x)^2}{16} + \dfrac {\sqrt {3}x^2}{36} [/tex3]

Derivando S(x):
[tex3]S'(x) = \dfrac {(x-L)}{8} + \dfrac {\sqrt{3}x}{18}[/tex3]

Ponto crítico: S'(x) = 0
[tex3]x = \dfrac {9L}{ 9 + 4\sqrt{3} }[/tex3]

Como o lado do triângulo é [tex3]x/3[/tex3], então:
[tex3]x/3 = \dfrac {3L}{9 + 4\sqrt{3}}[/tex3]

Conjugado do denominador: [tex3]9 - 4\sqrt{3}[/tex3]:
[tex3]x/3 = \dfrac {9 - 4\sqrt{3}} {11} L[/tex3]