Ensino Superior ⇒ Derivada de Ordem Superior

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Determine a derivada de ordem n.

b) f(x) = senx
c) f(x) = cosx
d) f(x) = ln x

[lorramrj]

Letra (b):
n=1 --> cos(x)
n=2 --> -sen(x)
n=3 --> -cos(x)
n=4 --> sen(x)

Letra(c):

n=1 --> -sen(x)
n=2 --> -cos(x)
n=3 --> sen(x)
n=4 --> cos(x)

Repare que derivadando 4 vezes, essas funções sempre voltam para função inicial.

Letra(d):

n=1 --> 1/x
n=2 --> -1/x^2
n=3 --> 2/x^3
n=4 --> -6/x^4
n=5 --> 24/x^5
...........................

[alevini98]

b)

[tex3]f(x)=\sen x[/tex3]

[tex3]f'(x)=\cos x\\
f''(x)=-\sen x\\
f'''(x)=-\cos x\\
f^{(4)}(x)=\sen x
[/tex3]

Veja que temos um ciclo de 4. Manipulando um pouco,

[tex3]\begin{array}{l}
f'(x)=\cos x & \to \sen\left(\frac{\pi}{2}+x\right)
\\
f''(x)=-\sen x & \to \sen\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)
\\
f'''(x)=-\cos x & \to\sen\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)
\\
f^{(4)}(x)=\sen x & \to\sen\left(\frac{4\pi}{2}+x\right)
\end{array}
[/tex3]

Com isso podemos notar um padrão. Logo, a enésima derivada de [tex3]\sen x[/tex3] é [tex3]\frac{d^n}{dx^n}(\sen x)=\sen\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)[/tex3]

---

c)
[tex3]f(x)=\cos x[/tex3]

[tex3]
\begin{array}{l}
f'(x)=-\sen x&\to\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)
\\
f''(x)=-\cos x&\to\cos\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)
\\
f'''(x)=\sen x&\to\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)
\\
f^{(4)}(x)=\cos x&\to \cos\left(\frac{4\pi}{2}+x\right)
\end{array}
[/tex3]

Novamente, podemos reparar num padrão. Assim, a enésima derivada de [tex3]\cos x[/tex3] é [tex3]\frac{d^n}{dx^n}(\cos x)=\cos\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)[/tex3].

---

d)
[tex3]f(x)=\ln x[/tex3]

[tex3]
f'(x)=\frac{1}{x}
\\
f''(x)=-\frac{1}{x^2}
\\
f'''(x)=\frac{2}{x^3}
\\
f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^4}
\\
f^{(5)}(x)=\frac{24}{x^5}
\\
f^{(6)}(x)=-\frac{120}{x^6}
[/tex3]

Pelo padrão dá para perceber que para um n ímpar obtemos uma derivada positiva, e para um n par obtemos uma derivada negativa. Disso tiramos o fator [tex3](-1)^{n+1}[/tex3] que provavelmente deverá ter em nossa enésima derivada.
Também podemos ver um fatorial, mais especificamente do tipo [tex3](n-1)![/tex3]. Quanto ao denominador, é simples perceber que o seu grau foi acompanhando o valor de n. Logo,

[tex3]\frac{d^n}{dx^n}(\ln x)=\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{x^n}[/tex3]

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Caso queira conferir, vá no WolframAlpha e digite [tex3]\boxed{\mbox{d^n/dx^n(função)}}[/tex3]