Olimpíadas ⇒ (Cone Sul) Quadriláteros Tópico resolvido

[Winston]

No quadrilátero convexo ABCD, sejam E e F os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Os segmentos CE e DF cortam-se em O. Demonstrar que se as retas AO e BO dividem o lado CD em três partes iguais então ABCD é um paralelogramo.

[Ittalo25MOD]

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- EG é base média de ADH, por isso os ângulos pretos iguais e AH é paralelo EG.
- Em particular, OH é paralelo a IG, mas G é ponto médio de DH, então I é ponto médio de DO. DI = DO
- De modo análogo JO = JC.
- Mas como DG=DH=HC, então DI=IO=OJ=JC.
- Reparando que OG é base média de DFH e que OH é base média EGC, de modo análogo mostra-se que DO=OF, de modo análogo OC=OE
- Assim OE=OC=OF=OD
- Também EOD e FOC são congruentes pelo caso LAL. Disso sai que ED=FC. Ou seja AD = BC.
- Como OEF e ODC têm os mesmo ângulos, EF é paralelo a DC.
- EFCD é paralelogramo, já que as diagonais se cruzam no ponto médio, então EF=DC e ED é paralelo a FC.
- Portanto ABCD também é paralelogramo.