Ensino Superior ⇒ Area - Integral Dupla Tópico resolvido

[Ronny]

Utilizando integrais duplas, calcule a area da figura limitada pelas linhas,

[tex3]y= \sqrt{1-x^{2}}[/tex3], [tex3]y=x [/tex3] e [tex3]y=0[/tex3]. Se possivel, faca uma interpretacao de ponto de vista Geometrico e numa aplicacao Mecanica da Integral calculada.

Fonte: Exercicio do Prof.dr. Alexandre Khalashinikov.

[Ronny]

GENTE VAI UMA AJUDA?? POR FAVOR.

[Ronny]

galera.. por favor peco a vossa ajuda na resolucao deste exercicio.. na moral favor !!

[Cardoso1979]

Boa noite!

Segue em anexo a resolução da sua pergunta.

[Ronny]

Amigo muito obrigado pela resolucao !! PERCEBI PERFEITAMENTE !! permita-me fazer algumas questoes? Se sim, eis as minhas duvidas:

1. Pelo que percebi o calculo foi directo( coordenadas cartesianas), se fosse por coordenadas polares teriamos angulo variando de 0 a pi/4 e o raio de 0 a 1?

2. Calculando a area , como e que nos interpretamos o resultado calculado mecanicamente e graficamente? graficamente: imaginei como sendo Area e mecanicamente: momento de inercia( aplicacao mecanica).. sei la.. nao percebi muito bem como interpretar o resultado achado no calculo da area utilizando integral duplo.

3. como nos sabemos que a regiao de intergracao e essa que voce pos ai e nao a do outro lado( superiormente no intervalo de -1 a 0 ) ??

[Cardoso1979]

Boa noite!

1. Seria muito mais simples por coordenadas polares, evitaria até mesmo a substituição trigonométrica( cálculo muito trabalhoso por coordenadas cartesianas ), eu deveria ter resolvido através de coordenadas polares, os ângulos e o raio estão corretos.

2. Graficamente é isso aí, agora mecanicamente, infelizmente eu tenho dúvidas, suponho que seja o momento de inércia.

3. Pelos dados que o autor forneceu na pergunta, a região está no 1° quadrante, perceba que a reta y = x limita mais ainda a região que ele pede( metade do ângulo de 90°), y = 0 ( é o eixo das abscissas ) e y = √( 1 - x² ) está acima do eixo das abscissas.

[Ronny]

Obrigado por tudo !

quanto a 3.a questao, eu descobriria o quadrante correcto, calculando mesmo o angulo, se formos a calcular o angulo que essa recta faz com a semi-circunferencia, resulta em 45.o( logo 1.o quadrante, estaria localizado a area de integracao).

[lorramrj]

Temos a região em coordenadas polares:

[tex3]R = \{ (r,\theta)\space / \space 0 \leq \theta \leq \dfrac {\pi}{4} \wedge \space 0\leq r \leq1 \} [/tex3]

Logo:

[tex3]\iint\limits_D 1 dxdy = \iint\limits_R r drd\theta = \int\limits_{0}^{\dfrac {\pi}{4}}\int\limits_{0}^{1} rdrd\theta = \dfrac {\pi}{8} [/tex3] u.A

[Ronny]

Fica muito mais simples Lol...