Ensino Superior ⇒ Derivadas - Ponto crítico, inflexão, extremante Tópico resolvido

[hid]

Dê um exemplo de funções para as quais existe um ponto p tal que: p é o ponto crítico mas não é ponto extremante e p é o ponto de inflexão mas não é ponto crítico.


Qual é a resposta disso ? Agradeço sua atenção, obrigado.

[lorramrj]

Para um ponto p ser ponto crítico de uma função [tex3]f(x) \rightarrow f'(x)=0[/tex3]

Para ser um extremo de f(x), necessariamente deve ser mudar o sinal da derivada exatamente nesse ponto.
Por exemplo, se a derivada tiver sinal negativo antes do ponto crítico a função f(x) é decrescente até chegar no ponto crítico que é exatamente igual a zero, se depois do ponto crítico a derivada mudar o sinal para positivo, então o ponto crítico é um extremo de f(x), nesse caso "p" seria ponto de mínimo. Neste mesmo exemplo, se depois de "p" a derivada continuar com derivada negativa, então "p" não será um extremo de f(x).

Pense na função: [tex3]f(x)=x^3 [/tex3]
http://m.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+x%5E3

Temos:[tex3]f'(x) = 3x^2[/tex3]

Pontos crítico de f(x) [tex3]\rightarrow f'(x) = 0 \rightarrow x^2 = 0 \rightarrow x = 0[/tex3]

Mas repare, pelo gráfico que [tex3]x=0 [/tex3] não é ponto de máximo e nem de minimo.

Para [tex3]x<0 \rightarrow f'(x)>0 [/tex3]
Para [tex3]x=0 \rightarrow f'(x)=0 [/tex3]
Para [tex3]x>0 \rightarrow f'(x)>0 [/tex3]

As funções senoidais são um exemplo para responder a segunda pergunta, por exemplo:

Pense em [tex3]g(x) = sen(x) [/tex3] com x [tex3]\in [\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}][/tex3]

[tex3]g'(x) = cos(x[/tex3]) [tex3]\rightarrow g'(x) = 0[/tex3] (Ponto Crítico)[tex3]x = \dfrac {\pi}{2}[/tex3] e [tex3]x = \dfrac{3\pi}{2}[/tex3]

[tex3]g''(x) = -sen(x) \rightarrow g''(x)=0[/tex3] (Ponto de inflexão) [tex3]x=0 [/tex3] ou [tex3]x=\pi[/tex3]

[hid]

Muito obrigado Lorram, eu já desconfiava da função cúbica como resposta da primeira, mas não fazia ideia da segunda função... Valeu, abraço e sucesso pra você.