IME / ITA ⇒ (ITA - 1976) Trigonometria: Inequação Trigonométrica Tópico resolvido

[barbarahass]

A inequação [tex3]4\sen^2 x - 2(1+\sqrt{2})\sen x+\sqrt{2} \lt 0[/tex3] tem uma solução [tex3]x,[/tex3] tal que:

a) [tex3]45^\circ <x < 60^\circ[/tex3]
b) [tex3]0^\circ <x < 30^\circ[/tex3]
c) [tex3]35^\circ <x < 45^\circ[/tex3]
d) [tex3]60^\circ <x < 75^\circ[/tex3]
e) n.d.r.a.

[cajuADMIN]

Olá barbarahass,

Começamos fazendo uma troca de variável para nos auxiliar na resolução

• [tex3]\sen(x)=Y[/tex3]

Assim, teremos:

• [tex3]4Y^2-2(1+\sqrt 2)Y+\sqrt 2 \lt 0[/tex3]

Aplicando Báscara para encontrar as raízes da função, encontramos:

• [tex3]Y'=\frac 12[/tex3]
  
  [tex3]Y''=\frac{\sqrt 2}{2}[/tex3]

E como é uma parábola com concavidade para cima, temos que a expressão, em Y, será negativa (como pedido no enunciado), quando:

• [tex3]\frac 12 \lt Y \lt \frac{\sqrt 2}{2}[/tex3]

Voltando agora com a troca [tex3]Y=\sen(x)[/tex3]

• [tex3]\frac 12 \lt \sen(x) \lt \frac{\sqrt 2}{2}[/tex3]

Visualizando esta inequação no círculo trigonométrico, temos:

trigonometria.GIF (2.52 KiB) Exibido 3050 vezes

Note que o exercício não quer todas as respostas. Ele quer apenas que você marque um intervalo que possua uma resposta possível.

Alternativa correta, letra (c).

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Alguem resolve esse Bhaskara ai?

[cajuADMIN]

Olá [user]Zhadnyy[/user],

[tex3]4Y^2-2(1+\sqrt 2)Y+\sqrt 2 = 0[/tex3]

Temos os coeficientes:

[tex3]a= 4[/tex3]
[tex3]b= -2(1+\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]c=\sqrt{2}[/tex3]

Calculando [tex3]\Delta=b^2-4ac[/tex3]

[tex3]\Delta=\[-2\(1+\sqrt{2}\)\]^2-4\cdot 4\cdot \sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\Delta=4\(3+2\sqrt{2}\)-16\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\Delta=12-8\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\Delta=\(2-2\sqrt{2}\)^2[/tex3]

Aplicando Báscara: [tex3]Y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex3]

[tex3]Y=\frac{-\[-2(1+\sqrt{2})\]\pm\sqrt{\(2-2\sqrt{2}\)^2}}{2\cdot 4}[/tex3]

[tex3]Y=\frac{2+2\sqrt{2}\pm\(2-2\sqrt{2}\)}{8}\to\begin{cases}
{Y'=\frac{2+2\sqrt{2}+\(2-2\sqrt{2}\)}{8}}\,\,\to\,\,\boxed{Y'=\frac{1}{2}} \\
{Y'=\frac{2+2\sqrt{2}-\(2-2\sqrt{2}\)}{8}} \,\,\to\,\,\boxed{Y''=\frac{\sqrt{2}}{2}}
\end{cases}[/tex3]



Grande abraço,
Prof. Caju

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Não vi a fatoração do delta...
Obrigado.