Pré-Vestibular ⇒ (UFC - 1992) Geometria Plana: Triângulo Retângulo Tópico resolvido

[edu_landim]

No triângulo [tex3]\large ABC[/tex3] o ângulo [tex3]\large \hat{A}[/tex3] é reto e [tex3]\large D[/tex3] é um ponto do cateto [tex3]\large \overline{AC}[/tex3] tal que os comprimentos dos segmentos [tex3]\large \overline{BD}[/tex3] e [tex3]\large \overline{DC}[/tex3] têm comprimento igual a [tex3]\large 1\,\textrm{m}[/tex3]. Seja [tex3]\large F[/tex3] um ponto de [tex3]\large \overline{BC}[/tex3] tal que [tex3]\large \overline{AF}[/tex3] é perpendicular a [tex3]\large \overline{BC}[/tex3]. Se o segmento [tex3]\large \overline{FC}[/tex3] mede [tex3]\large 1\,\textrm{m}[/tex3], determine o comprimento do cateto [tex3]\large \overline{AC}[/tex3].

[triplebig]

Picture 1.png (13.84 KiB) Exibido 732 vezes

Dados:

• [tex3]\overline {BA}\,=\,b\,\\\overline{AC}\,=\,x\,\\\overline{BC}\,=\,y[/tex3]

Traçando os ângulos, descobrimos que [tex3]\triangle AFC\,\sim\,\triangle BFA\,\sim\,\triangle ABC[/tex3] ,


Temos também, no [tex3]\triangle BDA[/tex3], que [tex3]\text{sen}2\theta\,=\,b\,\,\Longleftrightarrow\,\,2\cos\theta\text{sen}\theta\,=\,b\,\,\rightarrow\,\,\boxed{I}[/tex3]


Em [tex3]\triangle AFC[/tex3] temos que [tex3]\cos \theta \,=\,\Large\frac{1}{x}[/tex3] e em [tex3]\triangle ABC[/tex3] que [tex3]\text{sen}\theta\,=\,\Large\frac{b}{y}[/tex3]

Subsitituindo em [tex3]\boxed{I}[/tex3] esses ângulos:

• [tex3]2\,\cdot\,\Large\frac{b}{y}\large\,\cdot\,\Large\frac{1}{x}\large\,=\,b\,\\ y\,=\,\Large\frac{2}{x}\large\,\,\rightarrow\,\,\boxed{II}[/tex3]

Em [tex3]\triangle ABC \,\,\text{e}\,\,\triangle AFC[/tex3]:

• [tex3]\Large\frac{1}{x}\large\,=\,\Large\frac{x}{y}\large \\ x^2\,=\,y \\x^2\,=\,\Large\frac{2}{x}\large\\\boxed{x\,=\,\sqrt[3]{2}}[/tex3]

Resultado bem inesperado, mas acredito que esteja certo.






[/color]