Ensino Médio ⇒ (UFC) Inequação Logarítimica Tópico resolvido

[renavale3]

Quantos números inteiros satisfazem a inequação
[tex3]\log_4 (x^2) + \log_{\frac 1 2 } (3x-26) > 0 [/tex3] ?

[LucasPinafiMOD]

Veja que [tex3]\log_{1/2} a = \log_{2^{-1}} a = (-1) \log_2 a [/tex3]
Também, [tex3]\log_4 a = \log_{2^2} a = \frac 1 2 \log_2 a [/tex3]
De modo geral, [tex3]\log_{x^\beta} y^\theta = \frac{\theta}{\beta} \log_ x y [/tex3]
Tente fazer. Se não conseguir veja o spoiler abaixo.

Resposta

---

[tex3]\log_4 (x^2 ) +\log_{1/2} (3x-26) > 0 \Longleftrightarrow \log_2 (x) - \log_2 (3x-26) > 0 \\ \log_2 \left(\frac{x}{3x-26} \right) > 0 \Longrightarrow \frac{x}{3x-26}> 1 \Longrightarrow \frac{x}{3x-26}-1 > 0 \\ \frac{x-(3x-26)}{3x-26} > 0 \Longleftrightarrow \frac{26-2x}{3x-26}>0 [/tex3]
Devemos ter: [tex3]\bullet 26-2x>0 \wedge 3x-26 > 0 \\ \bullet 26-2x <0 \wedge 3x-26<0 [/tex3]
Primeiro caso:
[tex3]26-2x> 0 \Longrightarrow 26> 2x \Longrightarrow x < 13 \\ 3x-26>0 \Longrightarrow 3x> 26 \Longrightarrow x> 26/3 \\ \Longleftrightarrow 26/3 < x < 13 [/tex3]
O segundo caso fere a condição de existência do problema. Veja que no começo temos [tex3]\log_{1/2} (3x-26)[/tex3] de modo que [tex3]3x-26>0[/tex3]. Portanto, como 26/3 é aproximadamente 8,67, segue que os números inteiros que satisfazem a desigualdade são 9, 10, 11 e 12. Um total de 4 números.

[Auto Excluído (ID:19989)]

Pode, por favor, esclarecer o raciocínio para a condição? [tex3]\bullet 26-2x>0 \wedge 3x-26 > 0 \\ \bullet 26-2x <0 \wedge 3x-26<0 [/tex3]

[petrasMOD]

Se a inequação é > 0 (positiva) ou ambos os membros são positivos [tex3]\bullet 26-2x>0 \wedge 3x-26 > 0 [/tex3] ou ambos são negativos [tex3]\bullet 26-2x <0 \wedge 3x-26<0 [/tex3] e a solução de cada fração é a sua interseção [tex3]\wedge [/tex3]