Olimpíadas ⇒ (Cone Sul - Chile 1992) Teoria dos Números Tópico resolvido

[Hanon]

(Cone Sul - Chile 1992) Prove que não existem [tex3]a, \ b,\ c\in \mathbb{Z}^+[/tex3] que satisfazem a igualdade:
[tex3]a^2+b^2=3c^2[/tex3]

[Lonel]

[tex3]a^2+b^2\equiv0 \text{ (mod 3})[/tex3]

Para que isso ocorra [tex3]a,b\equiv0\text{ (mod 3})[/tex3], caso a,b forem congruente a 1 ou -1, teremos que [tex3]a^2+b^2\equiv1 \text{ ou} -1 \text{ (mod 3})[/tex3]

Podemos reescrever a questão como [tex3]a=3k[/tex3] e [tex3]b=3z[/tex3]:

[tex3]9k^2+9z^2=3c^2\Rightarrow3(k^2+z^2)=c^2[/tex3]

Logo c precisará ser multiplo de 3, faça c=3u

[tex3]k^2+z^2=3u^2[/tex3]

Note agora que k e z precisarão ser múltiplos de 3, depois u precisará, e isso continuará infinitamente. Logo não existe solução nos inteiros positivos para [tex3]a^2+b^2=3c^2[/tex3]