Ensino Superior ⇒ integral tripla - coordenadas cilindricas Tópico resolvido

[lmsodre]

[tex3]\int\limits\int\limits\int\limits z dxdydz[/tex3], onde

[tex3](x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}[/tex3]; [tex3]0\leq x \leq 1-y^{2}[/tex3]; [tex3]0\leq y \leq 1[/tex3]; [tex3]0\leq z \leq \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}[/tex3]

Resposta

---

resposta = [tex3]\frac{7\pi }{16}[/tex3]

[Cardoso1979]

Olá!

[tex3]Como \ 0 \leq x; 0 \leq y ; 0 \leq z \ concluímos\ que \ 0 \leq \theta \leq \frac{π}{2}\ ( 1° octante ) [/tex3]

Por outro lado, fazendo a intersecção do plano y = 0 com o cilindro x = 1 - [tex3]y^{2}\ , temos:[/tex3]

x = 1 - 0² [tex3]\rightarrow [/tex3] x = 1 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\rho\cos\theta
= 1 [/tex3], como [tex3]\theta = 0[/tex3], vem;

[tex3]\rho \ cos 0 = 1 \rightarrow \rho \cdot 1 =1 [/tex3], logo, [tex3]\rho = 1[/tex3]

Ainda;

y = 0 [tex3]\rightarrow \rho\cdot sen\theta =
0 [/tex3], como [tex3]\theta = \frac{π}{2}[/tex3],fica;

[tex3]\rho \cdot sen\left(\frac{π}{2}\right ) =0\rightarrow \rho \cdot1 = 0
\rightarrow \rho = 0 [/tex3], logo [tex3]0 \leq \rho \leq 1[/tex3]( não era necessário esses cálculos para encontrar os valores de [tex3]\rho [/tex3], pois parte do cilindro x = 1- y² de raio 1, centrado na origem e com eixo de rotação em "z", está contido no primeiro octante ( pelos dados do problema, como eu já expliquei acima ), logo [tex3]0 \leq \rho \leq 1[/tex3]

Das inequações [tex3]0 \leq z \leq \sqrt{4 - x² - y²}[/tex3], temos:

[tex3]0 \leq z \leq \sqrt{4 - (\rho \cdot cos\theta )^2 - ( \rho \cdot sen\theta )^2}[/tex3]

[tex3]0 \leq z \leq \sqrt{4 - \rho² \cdot cos²\theta - \rho² \cdot sen²\theta}[/tex3]

[tex3]0 \leq z \leq \sqrt{4 - \rho² \cdot ( cos²\theta + sen²\theta )}[/tex3]

Logo;

[tex3]0 \leq z \leq \sqrt{4 - \rho² }[/tex3]

Portanto, os limites de integração em coordenadas cilíndricas são:

{ ( θ , ρ , z ) ∈ R³ | 0 ≤ z ≤ [tex3]\sqrt{4 - \rho ^2}[/tex3] ; 0 ≤ [tex3]\rho [/tex3] ≤ 1; 0 ≤ θ ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]}

Daí;

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{4 - \rho²}}z dz\rho d\rho d\theta = \left(\frac{1}{2}\right)\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}\sqrt{(4 - \rho² )^2 }\rho d\rho d\theta = [/tex3]
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}(4 - \rho² )\rho d\rho d\theta = [/tex3]
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}(4\rho - \rho³ )d\rho d\theta = [/tex3]
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}(2\cdot 1² - \frac{1⁴}{4})d\theta = [/tex3]
[tex3]\left(\frac{1}{8}\right)\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}7d\theta = [/tex3]
[tex3]\left(\frac{1}{8}\right)(7\cdot \frac{π}{2})= \frac{7\pi }{16}[/tex3]

Obs.1 Você poderia também usar as seguintes inequações [tex3]0 \leq y \leq 1[/tex3], para encontrar os valores de [tex3]\rho [/tex3].
[tex3]0 \leq \rho\cdot\sen\theta \leq 1[/tex3], como [tex3]\theta = \frac{π}{2} [/tex3]
[tex3]0 \leq \rho\cdot\sen\left(\frac{π}{2}\right)\leq 1[/tex3], logo
[tex3]0 \leq \rho\leq 1[/tex3]

Obs.2 A porção da esfera também está limitada no 1° octante ( ver os dados que o autor cita no enunciado do problema )

Obs.3 dzdydx = dz [tex3]\rho d\rho d\theta [/tex3]

Nota:
[tex3]\begin{cases}
x=\rho \cdot cos\theta \\
y=\rho \cdot sen\theta \\
z=z \\
x² + y² + z² = 4 \ esfera \ de\ raio \ 2 \ centrada \ na\ origem
\end{cases}[/tex3]

Agora, quem for procurar essa mesma questão no Google irá encontra-la respondida.

Atenciosamente, Rondineli Cardoso de Araújo