Ensino Superior ⇒ Aproximação de Pi por Série

[Andre13000]

Suponha que a seguinte expansão exista:

[tex3]\frac{1}{1+e^x}=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots[/tex3]

Prove que [tex3]\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\pi^2[/tex3]

[Andre13000]

A inspiração para este problema vem do método de Bernoulli, que parece ser até algum tipo de coincidência matemática na expansão de uma série. Segue mais ou menos desta forma:

Seja [tex3]P(x)[/tex3] um polinômio de grau n, tal que [tex3]\frac{Q(x)}{P(x)}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n[/tex3], onde a expansão é feita em torno de 0 e [tex3]\deg Q(x)< n[/tex3].

Então [tex3]\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=r[/tex3]

Onde é alguma raíz de [tex3]P(x)[/tex3].

Prova:

Suponha que o quociente de polinômio possa ser expresso na seguinte forma:

[tex3]\frac{Q}{P}=\frac{1}{\prod_k \(1-a_kx\)}[/tex3]

[tex3]a_k^{-1}[/tex3] é uma raíz de P. Utilizando decomposição por frações parciais:

[tex3]\frac{Q}{P}=\sum_k \frac{b_k}{1-a_kx}[/tex3]

Onde [tex3]b_k [/tex3] são constantes a serem determinadas. Fazendo a expansão em série da expressão temos:

[tex3]\frac{Q}{P}=\sum_{k}b_k\sum_{n=0}^\infty a_k^nx^n=\sum_{m=0}^\infty c_mx^m[/tex3]

Portanto o coeficiente de [tex3]x^m[/tex3] nesta expressão é simplesmente

[tex3]c_m=\sum_{k} b_ka_k^m[/tex3]

E [tex3]\frac{c_m}{c_{m+1}}=\frac{1}{w}[/tex3], onde w é o coeficiente [tex3]a_k[/tex3] de maior módulo. Segue que [tex3]r=\frac{1}{w}[/tex3].

Neste caso temos que:

[tex3]\frac{1}{e^t+1}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(2^{k+1}-1)(-1)^kB_{k+1}}{(k+1)!}t^k[/tex3]

Agora reparei que escrevi a questão errado, mas continuando:

[tex3]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{B_{2k+2}}{k^2B_{2k}}\right|[/tex3]

Utilizando o fato de que para n natural é válido [tex3]\frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2\cdot(2n)!}=\zeta(2n)[/tex3] e que [tex3]\zeta(\infty)=1[/tex3]:

[tex3]\lim_{k\to\infty}\left|\frac{B_{2k+2}}{k^2B_{2k}}\right|=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k^2}\cdot \frac{k^2}{\pi^2}=\frac{1}{\pi^2}[/tex3]

Obs:

[tex3]\frac{t}{e^t-1}=\sum_{k=0}^\infty \frac{B_k}{k!}t^k\\
\frac{1}{e^{2t}-1}=\frac{1}{e^t-1}+\frac{1}{e^t+1}\\
\frac{1}{e^t+1}=\frac{1}{e^{2t}-1}-\frac{1}{e^t-1}[/tex3]

[Andre13000]

O que eu esqueci e é justamente o ponto central é o fato que uma das raízes de [tex3]e^t+1=0[/tex3] é [tex3]t=\pi i[/tex3]. Isso parece ser somente uma grande coincidência, mas não tenho certeza, por isso que discuti o método de Bernoulli.