IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2017) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Calcule o número de soluções inteiras não negativas de [tex3]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=20[/tex3], nas quais pelo menos [tex3]3[/tex3] incógnitas são nulas, e assinale a opção correta.

(A) [tex3]3332[/tex3].
(B) [tex3]3420[/tex3].
(C) [tex3]3543[/tex3].
(D) [tex3]3678[/tex3].
(E) [tex3]3711[/tex3].

Resposta

---

E

[paulo testoniMOD]

Hola.

Entre as 6 temos que escolher 3 para serem nula, de [tex3]{C_6^3}=20[/tex3] formas.

Ficamos com:

[tex3]x_1+x_2+x_3=20\\
(x_1+1) +(x_2+1)+(x_3+1)=20\\
x_1+x_2+x_3=20-3\\
x_1+x_2+x_3=17[/tex3]

O número de soluções inteiras não negativas é dado por:

Pela fórmula, vc tem: [tex3]x_1+x_2+\ldots+x_n=r[/tex3]

[tex3]\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}[/tex3]

Utilizando a fórmula do teorema acima:

[tex3]\frac{(17+3-1)!}{17!(3-1)!}=\frac{19!}{17!2!}=171[/tex3]

Portanto; [tex3]20*171=3420[/tex3]
[tex3]\boxed{B}[/tex3].

[jvmago]

Bom dia,

Por que é somado 1 as incógnitas? e como deduzir esse teorema?

Desde já obrigado

[Optmistic]

com 3 nulas

0 + 0 + 0 + x4 + x5 + x6 = 20

Com números repetido ...

(1 + 1 + 18, 2 + 2 + 16, 3 + 3 + 14, 4 + 4 + 12, 5 + 5 + 10, 6 + 6 + 8, 7 + 7 + 6, 8 + 8 + 2, 9 + 9 + 1) = 9 somas

0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 18 = 20 Conceito de anagramas ...

6!/3!.2! = 6.5.4.3!/3!.2! = 30.4/2 = 60

60 . 9 = 540 soluções

Agora uso os que não se repete nenhuma vez ...

( 1 + 2 + 17, 1 + 3 + 16, 1 + 4 + 15, 1 + 5 + 14, 1 + 6 + 13, 1 + 7 + 12, 1 + 8 + 11, 1 + 9 + 10, 2 + 3 + 15, 2 + 4 + 14 , 2 + 5 + 13, 2 + 6 + 12, 2 + 7 + 11, 2 + 8 + 10, 3 + 4 + 13, 3 + 5 + 12, 3 + 6 + 11, 3 + 7 + 10, 3 + 8 + 9 , 4 + 5 + 11, 4 + 6 + 10, 4 + 7 + 9, 5 + 6 + 9, 5 + 7 + = 24 somas

Assim teríamos:

0 + 0 + 0 + x4 + x5 + x6 = 20 conceito de anagramas ...

6!/3! = 6.5.4.3! = 120

120 . 24 = 2 880 soluções

===========================================================

Pelo menos 3 nulas, implica que podemos ter mais de 3

Assim podemos ter :

0 + 0 + 0 + 0 + x5 + x6 = 20

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + x6 = 20

x5 + x6 = 20 , tenho como opções de soma :

(1 + 19 , 2 + 18, 3 + 17, 4 + 16, 5 + 15, 6 + 14 , 7 + 13 , 8 + 12 , 9 + 11 , 10 + 10 ) = 10 opções

Primeiro faço com 10 + 10

Assim tenho :

0 + 0 + 0 + 0 + 10 + 10 = 20 (uso o conceito de anagramas)

6!/2!.4! = 6.5.4!/2.1.4! = 3.5 = 15 soluções

Agora faço isso com as demais de somas diferentes ...

0 + 0 + 0 + 0 + x5 + x6

6!/4! = 6.5.4! = 30

como temos 9 somas diferentes ...

9 . 30 = 270 soluções

---------------------------------------------------------------------------

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + x6 = 20

só tenho 20 como solução ...

Assim tenho :

6!/5! = 6 soluções

Somando todas as soluções:

540 + 2 880 + 15 + 270 + 6 = 3 711 é o total de soluções possíveis.

[MatheusBorgesMOD]

jvmago

Bom dia,

Por que é somado 1 as incógnitas? e como deduzir esse teorema?

Desde já obrigado

Demonstração:

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Primeiro foi imposto que 3 das incógnitas vale 0 (1 caso):
[tex3]x_1+x_2+x_3=20[/tex3] (Exemplo)
Veja que se você aplicar o teorema de cima nessa hipótese, não dá, pois você está dizendo que só podem ter 3 soluções com zero e como esse teorema é para todos os naturais, naturalmente no fim vai ter soluções com mais de 3 zeros. Como contornar o problema?
[tex3]x_1=a+1\\
x_2=b+1\\
x_3=c+1\rightarrow a+1+b+1+c+1=20\rightarrow a+b+c=17[/tex3]
Desse modo, você impõe que [tex3]x_1,x_2,x_3\neq 0[/tex3], e pode aplicar o teorema, por quê no pior dos casos a (ou b por exemplo) pode ser 0 ou seja [tex3]x_1=1[/tex3]!
Se você usar esse pensamento para os outros 2 casos dá pra terminar o problema de forma trivial.