Ensino Médio ⇒ Área da meia-lua

[baltuilhe]

Acho que a integral seria essa:
[tex3]\int\limits_{-10\sqrt{319}}^{+10\sqrt{319}} \sqrt {(200)^2 - x^2 } - 90\space dx \approx 28\space086 mm^2[/tex3]

Por coordenadas polares fica fácil de resolver!

Mas a área não bateu...

[guilheros123]

Acho que a integral seria essa:
[tex3]\int\limits_{-10\sqrt{319}}^{+10\sqrt{319}} \sqrt {(200)^2 - x^2 } - 90\space dx \approx 28\space086 mm^2[/tex3]

Por coordenadas polares fica fácil de resolver!

Mas a área não bateu...

Se considerarmos a altura 78mm e não 90mm e o diâmetro de 325mm em vez de 310mm. Como se aplicaria ?

[baltuilhe]

Acho que a integral seria essa:
[tex3]\int\limits_{-10\sqrt{319}}^{+10\sqrt{319}} \sqrt {(200)^2 - x^2 } - 90\space dx \approx 28\space086 mm^2[/tex3]

Por coordenadas polares fica fácil de resolver!

Mas a área não bateu...

Se considerarmos a altura 78mm e não 90mm e o diâmetro de 325mm em vez de 310mm. Como se aplicaria ?

Se considerarmos estes parâmetros, exatamente, chegaremos a um raio de 208,27mm, um ângulo de 102,56^o, aproximadamente, e uma área de 17.654,90mm². Pode tentar calcular pelas expressões que deixei e veja se consegue obter os mesmos resultados, ok?

Espero ter ajudado!

[lorramrj]

Já sei o que errei, eu deveria considerar no meu cálculo a altura [tex3]h = Raio-90 = 200-90 = 110mm[/tex3]

Ficaria:

[tex3]\int\limits_{-30\sqrt{31}}^{+30\sqrt{31}} \sqrt {(200)^2 - x^2 } - 110\space dx \approx 21\space163 mm^2[/tex3]

[lorramrj]

Já sei o que errei, eu deveria considerar no meu cálculo a altura [tex3]h = Raio-90 = 200-90 = 110mm[/tex3]

Ficaria:

[tex3]\int\limits_{-30\sqrt{31}}^{+30\sqrt{31}} \sqrt {(200)^2 - x^2 } - 110\space dx \approx 21\space163 mm^2[/tex3]

Esquema montando para cálculo da área da região:

CIRC.png (19.72 KiB) Exibido 2844 vezes

[Andre13000]

[tex3]A=\int_{-R}^{+R}\sqrt{R^2-x^2}+H-R~dx\\
A=2R(H-R)+\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx[/tex3]

A integral parece estranha, mas nenhum método elaborado precisa ser usado, pois sabemos que há uma relação desta com o círculo. Precisamos usar funções trigonométricas. Use [tex3]x=R\sen\theta[/tex3]

[tex3]\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}R\cos\theta \cdot R\cos\theta~d\theta\\
\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx=R^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta~d\theta[/tex3]

Aí eu te pergunto: como calcular essa integral? Vamos utilizar algo que é muito fácil de memorizar.

[tex3]e^{ix}=\cos x+i\sen x\\
e^{2ix}=\cos^2x-\sen^2x+2i\sen x\cos x\\
e^{2ix}=2\cos^2x-1+2i\sen x\cos x=\cos 2x+i\sen 2x\\
\cos(2x)=2\cos^2x-1[/tex3]

A partir daqui você consegue a resposta facilmente.

[guilheros123]

Já sei o que errei, eu deveria considerar no meu cálculo a altura [tex3]h = Raio-90 = 200-90 = 110mm[/tex3]

Ficaria:

[tex3]\int\limits_{-30\sqrt{31}}^{+30\sqrt{31}} \sqrt {(200)^2 - x^2 } - 110\space dx \approx 21\space163 mm^2[/tex3]

Esquema montando para cálculo da área da região:

CIRC.png

Se meu H fosse = 78mm e o diâmetro 325mm em vez de 310mm, a área seria 17.155mm² ?

[lorramrj]

[tex3]A=\int_{-R}^{+R}\sqrt{R^2-x^2}+H-R~dx\\
A=2R(H-R)+\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx[/tex3]

A integral parece estranha, mas nenhum método elaborado precisa ser usado, pois sabemos que há uma relação desta com o círculo. Precisamos usar funções trigonométricas. Use [tex3]x=R\sen\theta[/tex3]

[tex3]\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}R\cos\theta \cdot R\cos\theta~d\theta\\
\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx=R^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta~d\theta[/tex3]

Aí eu te pergunto: como calcular essa integral? Vamos utilizar algo que é muito fácil de memorizar.

[tex3]e^{ix}=\cos x+i\sen x\\
e^{2ix}=\cos^2x-\sen^2x+2i\sen x\cos x\\
e^{2ix}=2\cos^2x-1+2i\sen x\cos x=\cos 2x+i\sen 2x\\
\cos(2x)=2\cos^2x-1[/tex3]

A partir daqui você consegue a resposta facilmente.

Não entendi porque usou esse limte de integração... Nesse caso teríamos:
[tex3]\int\limits_{-200}^{200} \sqrt {(200)^2 - x^2 } - 110\space dx \approx 18\space832 mm^2[/tex3]

[Andre13000]

Você tem razão. Eu me confundi, o intervalo esta definido entre as soluções da equação

[tex3]R^2-x^2=(R-H)^2[/tex3]

[baltuilhe]

Já sei o que errei, eu deveria considerar no meu cálculo a altura [tex3]h = Raio-90 = 200-90 = 110mm[/tex3]

Ficaria:

[tex3]\int\limits_{-30\sqrt{31}}^{+30\sqrt{31}} \sqrt {(200)^2 - x^2 } - 110\space dx \approx 21\space163 mm^2[/tex3]

Esquema montando para cálculo da área da região:

CIRC.png

Se meu H fosse = 78mm e o diâmetro 325mm em vez de 310mm, a área seria 17.155mm² ?

Calculei para H=78mm e C=325mm um raio R=208,27mm e ângulo de 102,56^o, aproximadamente. A área deu 17.654,90mm².

Espero ter ajudado!