IME / ITA ⇒ (Peruano) Áreas de Regiões Triangulares

[Auto Excluído (ID:17906)]

Segundo o gráfico [tex3]C[/tex3] é o ponto da tangência, se [tex3]AM=MB[/tex3], [tex3]AP=a[/tex3], [tex3]BQ=b[/tex3], calcule a área da região triangular [tex3]ABC[/tex3].

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a) [tex3]\sqrt{ab(a^{2}+b^{2})}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{\frac{ab(a^{2}+b^{2})}{2}}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{ab(a^{2}+b^{2})}}{2}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{ab}(a+b)[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{ab}}{2}(a+b)[/tex3]

Resposta

---

Letra B

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]\Delta AMP \equiv \Delta BMQ[/tex3]
[tex3]PQ = a+b[/tex3]
[tex3]AB^2 = (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)[/tex3]
trace CH perpendicular à AB com H em AB.
[tex3]\Delta AHC \approx \Delta CBQ[/tex3]
[tex3]\frac{AH}{CQ}= \frac{CH}{b}[/tex3]
analogamente
[tex3]\frac{BH}{CP} = \frac{AB - AH}{a+b - CQ} = \frac{CH}{a} \iff aAB - aAH = CH(a+b) - bAH \iff CH =\frac{aAB - (a-b)AH}{a+b}[/tex3]
falta mais uma relação ainda....

[Auto Excluído (ID:12031)]

por analítica: faça um sistema centrado em P, com o eixo x em PQ

[tex3]P = (0,0)[/tex3]
[tex3]M = (b,0)[/tex3]
[tex3]Q = (a+b,0)[/tex3]
[tex3]A = (0,a)[/tex3]
[tex3]B = (a+b,b)[/tex3]
seja [tex3]K = \frac{A+B}2 = (\frac{a+b}2, \frac{a+b}2)[/tex3]
o centro do círculo é o encontro de [tex3]MK[/tex3] com a parábola de foco A e diretriz PQ:
[tex3]y - \frac a2 = \frac{x^2}{2a}[/tex3] e [tex3]y = \frac{(x-b)(a+b)}{a-b}[/tex3]
de onde [tex3]x = \frac{-\sqrt 2 \sqrt{ab(a^2+b^2)} + a(a+b)}{a-b}[/tex3]
de onde [tex3]2S = |- a(a+b) + x(a-b)| = \sqrt 2\sqrt{ab(a^2+b^2)}[/tex3] e [tex3]S = \sqrt{\frac{ab(a^2+b^2)}{2}}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

se alguém quiser tentar a sorte na plana, esse é um bom lugar pra começar: viewtopic.php?f=3&t=69908

[jvmago]

Venho humildemente trazer a solução geométrica para o Problema

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[jvmago]

Como AM=MB então fica fácil notar a congruencia entre os triângulos APM e BMQ

Traçando BK paralelo a PQ temos por Pit que

[tex3]AB²=2(a²+b²)[/tex3]

Pelo teorema dos ângulos inscritos tem-se que

[tex3]BcQ=CaB[/tex3] assim como [tex3]AcP=AbC[/tex3]

Portanto, AcB=90

Por fim, note que os triângulos ABC e BCQ são semelhantes assim como ABC e ACP

Pelo primeiro caso temos

[tex3]\frac{m}{b}=\frac{\sqrt{2(a²+b²)}}{m}[/tex3]

De maneira analoga para a segunda semelhança

[tex3]\frac{n}{a}=\frac{\sqrt{2(a²+b²)}}{n}[/tex3]

Multiplicando as duas equações chegamos em

[tex3](mn)^2=2ab(a²+b²)[/tex3] mas [tex3]2x=mn[/tex3] donde sai nossa resposta

[tex3]x=\sqrt{\frac{ab(a²+b²)}{2}}[/tex3]

PIMBADA
[tex3]VOLTA.SOUSOEU[/tex3]

[geobson]

Venho humildemente trazer a solução geométrica para o Problema

é muita modéstia, você é a sumidade da geometria plana.

[jvmago]

Venho humildemente trazer a solução geométrica para o Problema

é muita modéstia, você é a sumidade da geometria plana.

Perto dele eu não sou ninguém! Ele é anos luz a frente de mim, nem me comparo só ele tirava umas sacadas do satanás

[FelipeMartinMOD]

o ângulo [tex3]\angle ACB[/tex3] não necessariamente é 90

[jvmago]

o ângulo [tex3]\angle ACB[/tex3] não necessariamente é 90

Ué, porque não? :/