IME/ITA ⇒ densidade linear de uma massa variavel Tópico resolvido

[gerlanmatfis]

Um fio uniforme de comprimento l e massa m tem densidade linear de massa variável, dada por [tex3]\mu =kx[/tex3] onde x é a distância e uma extremidade do fio e k uma constante;
a) mostre que [tex3]m=\frac{ml^{2}}{2}[/tex3]
b) mostre que o tempo t necessário para que um pulso gerado em uma das extremidades do fio chegue à outra extremidade é [tex3]t=\sqrt{\frac{8ml}{9F}}[/tex3],onde F é a tração no fio.

Resposta:
a) a) É preciso fazer: [tex3]\mu = \frac{dm}{dx}=kx\therefore \int\limits_{0}^{1}kxdx[/tex3]
b) b) É preciso fazer [tex3]v=\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{F}{\mu }}\therefore t= \sqrt{\frac{K}{F}}\int\limits_{0}^{1}\sqrt{x}dx[/tex3]

[lorramrj]

a) [tex3]\mu = \dfrac {dm}{dx} \rightarrow \int\limits_{}^{} dm = \int\limits_{}^{} \mu(x) dx \rightarrow m =\int\limits_{}^{}(kx)dx [/tex3]
[tex3]\therefore \\ m = k[\dfrac{1}{2}x^2]_0^{l},[/tex3] ficamos com:

[tex3]\boxed {m = \dfrac{kl^2}{2}}[/tex3]

b)

[tex3]v = \dfrac{dx}{dt} [/tex3] e [tex3]v = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}} \therefore \dfrac{dx}{dt} = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}} \rightarrow \dfrac{dt}{dx} = \sqrt{\dfrac{\mu}{F}} \rightarrow \boxed{ \int\limits_{}^{} dt = \int\limits_{}^{}\sqrt{\dfrac{\mu}{F}} dx} [/tex3]
[tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]\Delta t = \dfrac{1}{\sqrt{F}} \int\limits_{}^{}\sqrt{\mu} dx \rightarrow \Delta t = \sqrt{\dfrac{k}{F}} \int\limits_{0}^{l}\sqrt{x} dx[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\Delta t = \sqrt{\dfrac{k}{F}} \times \dfrac{2}{3}\sqrt{l^3} = \sqrt{\dfrac{4kl^3}{9F}} [/tex3]


Do item (a),[tex3]\boxed {k = \dfrac{2m}{l^2}}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3]\boxed {\Delta t = \sqrt{\dfrac{8ml}{9F}}}[/tex3]