Pré-Vestibular ⇒ (UFOP - 2008) Geometria Plana: Área de um Triângulo

[natocruz]

Na figura abaixo, [tex3]h[/tex3] representa a altura relativa ao lado [tex3]AC[/tex3] do triângulo [tex3]ABC ;[/tex3] [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são as medidas dos lados [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AC ,[/tex3] respectivamente, e [tex3]\alpha[/tex3] é a medida do ângulo [tex3]A\hat{C}B .[/tex3]

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a) Mostre que a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é igual a [tex3]\frac{ab}{2}\text{sen}\alpha.[/tex3]

b) Se o perímetro do triângulo é [tex3]40\text{cm},\ \alpha = 30^\circ[/tex3] e [tex3]c = 10\text{cm},[/tex3] quais devem ser as medidas de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] de modo que a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] seja a maior possível? Qual é essa área?

[Doug]

Opa, vou chamar o segmento [tex3]\overline{CH}[/tex3] de [tex3]x,[/tex3] então vou somar a área dos triânlos [tex3]\triangle CHB+\triangle HAB[/tex3], e achar a área total,

[tex3]\Large \frac{B.H}{2}\large \Right\,\Large \frac{x.h}{2}\large +\Large \frac{(b-x).h}{2}\large \Right\,\Large \frac{hx}{2}\large +\Large \frac{hb-hx}{2}\large \Right\,\Large \frac{\cancel{hx}+hb\cancel{-hx}}{2}\large \Right\,\Large \frac{hb}{2}\large \Right\boxed{I}[/tex3]

Agora como podemos ver [tex3]h[/tex3] é equivalente a,

[tex3]\text{sen}\alpha=\Large\frac{h}{a}\large \Right\,h= \text{sen}\alpha \cdot a\Right\boxed{II}[/tex3]

Substituindo II em I,

[tex3]\Large \frac{hb}{2}\large \Right\,\boxed{\Large \frac{a\cdot b}{2}\large \cdot \text{sen}\alpha}[/tex3]

A letra B to pensano ainda se conseguir posto aqui , abraço e t+

[natocruz]

Essa eu tb sei!

[Karl Weierstrass]

b)

• [tex3]\left. 2p=a+b+c= 40\\ c=10 \right\} \Longrightarrow b=30-a[/tex3]

Como [tex3]\alpha = 30^\circ,[/tex3] temos:

• [tex3]S=\frac{ab}{2}\cdot \text{sen}\alpha = \frac{a\cdot (30-a)}{4}=-\frac{1}{4}\cdot (a^2-30a)= -\frac{1}{4}\cdot \[(a-15)^2-225\]=\frac{225}{4}-\frac{1}{4}\cdot (a-15)^2[/tex3]

Para que [tex3]S[/tex3] seja máxima, [tex3](a-15)^2[/tex3] deve ser mínimo, isto é, [tex3](a-15)^2=0[/tex3]. Logo, [tex3]a = 15,[/tex3] [tex3]b = 15[/tex3] e a área máxima do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é [tex3]\text{\frac{225}{4}u.a.}[/tex3]

[natocruz]

Obrigado!