IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria Tópico resolvido

[jvmago]

Não consegui transformar os arcos, sempre encontro [tex3]\sen x[/tex3] ou [tex3]\cos x[/tex3] isolados.

Se [tex3]x \in[0,2\pi][/tex3], o número de soluções da equação

[tex3]\sen^4x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\det\begin{pmatrix}
\cos x & \sen^2x & 1 \\
\cos x & \sen x & 0 \\
\cos x & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3] é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6

[alevini98]

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\det\begin{pmatrix}\cos x&\sen^2x&1\\\cos x&\sen x&0\\\cos x&1&1\end{pmatrix}[/tex3]

Lembrando que [tex3]\det(A)=\det(A^t)[/tex3]

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\det\begin{pmatrix}\cos x&\cos x&\cos x\\\sen^2x&\sen x&1\\1&0&1\end{pmatrix}[/tex3]

Lembre também que se trocarmos 2 linhas/colunas da matriz também estaremos trocando o sinal de seu determinante.

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\det\begin{pmatrix}1&0&1\\\sen^2x&\sen x&1\\\cos x&\cos x&\cos x\end{pmatrix}[/tex3]

Agora podemos aplicar a regra de Chió

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\det\begin{pmatrix}\sen x-0\cdot\sen^2x&1-1\cdot\sen^2x\\\cos x-0\cdot\cos x&\cos x-1\cdot\cos x\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\sen x\cdot0-(1-\sen^2x)\cos x\\\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=-\cos^3x[/tex3]

Veja que [tex3]-2\sen^2x+1=2\cos^2x-1[/tex3] pois ambos são a expansão de [tex3]\cos2x[/tex3].

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x+2\cos^2x-1=-\cos^3x\\\sen x+\cos^2x(\sen^2x+2)-1=-\cos^3x[/tex3]

Substituindo [tex3]\sen^2x[/tex3] por [tex3]1-\cos^2x[/tex3]

[tex3]\sen x+\cos^2x(3-\cos^2x)-1=-\cos^3x\\\sen x+3\cos^2x\cancel{-\cos^3x}-1=\cancel{-\cos^3x}[/tex3]

Substituindo [tex3]\cos^2x[/tex3] por [tex3]1-\sen^2x[/tex3]

[tex3]\sen x+3-3\sen^2x-1=0\\3\sen^2x-\sen x-2=0[/tex3]

Resolvendo a quadrática em [tex3]\sen x[/tex3] obtemos as soluções [tex3]\sen x=1[/tex3] e [tex3]\sen x=-\frac{2}{3}[/tex3].

Para o intervalo [tex3][0,2\pi][/tex3] vemos que [tex3]\sen x[/tex3] passa duas vezes por 1 e duas vezes por [tex3]-\frac{2}{3}[/tex3].

Dessa forma, a equação apresenta 4 soluções para o intervalo [tex3][0,2\pi][/tex3].

---

Obs.: você não precisa necessariamente encontrar o valor de [tex3]x[/tex3] nesse caso, mas apenas visualizar o ciclo trigonométrico e perceber quantas vezes ele passa por um determinado valor. Seria bom também esboçar o ciclo e os lugares aproximados dos valores de [tex3]\sen x[/tex3] no ciclo. Com isso dá para saber quantas raízes há em determinado intervalo.

[jvmago]

Poxa a resolução está incorreta na parte da distributiva de COSx^2(3-COSx^2). Foi exatamente neste ponto eum que eu não consegui desenvolver a questão pois vamos ter um polinômio de 4 grau de variável cosx porém fica um sen x solto

[alevini98]

Substituindo [tex3]\sen^2x[/tex3] por [tex3]1-\cos^2x[/tex3]

[tex3]\sen x+\cos^2x(3-\cos^2x)-1=-\cos^3x\\\sen x+3\cos^2x\cancel{-\cos^3x}-1=\cancel{-\cos^3x}
[/tex3]

Realmente, não havia reparado. Estou pensando em um jeito de lidar com isso.

[jvmago]

creio que seja alguma informação errada

[jvmago]

Fiz uma carteação aqui em vez de [tex3]sen (x)^1[/tex3] eu substituí por [tex3]sen (x)^2[/tex3] e obtive a seguinte expressão:

[tex3](cos(x))^2[(cos(x))^2 + cos(x) -2] = 0[/tex3] que resultaria em [tex3]cos(x)= 0[/tex3] ou [tex3]cos(x)= 1[/tex3] ou [tex3]cos(x) = -2[/tex3]

resultando em 6 soluções

[jvmago]

Modifiquei o enunciado, creio que o erro tenha sido o [tex3]sen^1x[/tex3]. Mas muito obrigado pela força

[LucasPinafiMOD]

kkk não faz sentido, pq o autor da prova ia escrever sen² x e lás na frente um - 2 sen² x
pq nao escreveu - sen² x logo? Vou pesquisar sobre essa questão

[jvmago]

O calculos do Alevini bateram com o meu até a parte da distributiva. Ainda acho que seja algum erro de informação na matriz.

[alevini98]

kkk não faz sentido, pq o autor da prova ia escrever sen² x e lás na frente um - 2 sen² x
pq nao escreveu - sen² x logo? Vou pesquisar sobre essa questão

Verdade, ia dizer o mesmo. Eu tentei pesquisar sobre essa questão, mas os sites em que procurei falta justamente esse ano.

E não poderia ser [tex3]\sen^3x[/tex3] no lugar do [tex3]\sen^2x[/tex3] que acabou de editar acima?