IME / ITA ⇒ (IME) Equação Irracional Tópico resolvido

[Killin]

Resolva a equação [tex3]\sqrt{5-\sqrt{5-x}}= x[/tex3], sabendo que [tex3]x>0.[/tex3]

[jvmago]

elevando os membros ao quadrado

[tex3]\sqrt{5\sqrt[]{5-x}}^2 = x^2[/tex3]
[tex3]5\ - \sqrt{5-x} = x^2[/tex3]

invertendo os lados e elevando ao quadrado de novo

[tex3]5\ -\ x = x^4 - 10x^2 +25[/tex3]
[tex3]x^4-10x^2+x+20=0[/tex3]

nesse ponto eu acho exaustivo por toda a pesquisa de raízes. As quatro serão:

[tex3]x1\ e\ x2 = +-(\sqrt{21}+1)/2[/tex3] [tex3]x3\ e\ x4= +-(\sqrt{17}+1)/2[/tex3]

[jvmago]

se alguem souber alguma forma de fatorar o polinomio, seria de grande ajuda pois se tornou mt trabalhosa a questão

[snooplammer]

Eu tinha visto essa questão, e tinham mostrado uma forma bem interessante, mas, que deveria ser provada antes de tudo

Seria transformar em uma equação infinita

[snooplammer]

se alguem souber alguma forma de fatorar o polinomio, seria de grande ajuda pois se tornou mt trabalhosa a questão

Solução do Daniel Viana do grupo Rumo ao ITA

[tex3](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd[/tex3]
Igualando os coeficientes
[tex3]a+c=0[/tex3]
[tex3]b+d+ac=-10[/tex3]
[tex3]ad +bc=1[/tex3]
[tex3]bd=20[/tex3]
Resolvendo temos que [tex3]c=-a[/tex3] logo
[tex3]a(d-b)=1[/tex3], vamos chutar [tex3]a=1[/tex3]
[tex3]d-b=1[/tex3]
[tex3]b+d=-9[/tex3]
[tex3]d=-4[/tex3] e [tex3]b=-5[/tex3] e todas as equações batem
logo fatoramos como:
[tex3](x^2+x-5)(x^2-x-4)[/tex3]

[Ittalo25MOD]

[tex3]5 = a [/tex3]

[tex3]\sqrt{a-\sqrt{a-x}}= x[/tex3]

Para: [tex3]5 \geq x \geq 0 [/tex3]

[tex3]-\sqrt{a-x}= x^2-a[/tex3]

Para: [tex3]x^2 - 5 \leq 0\rightarrow -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} [/tex3]

[tex3]x+x^4+a^2-2ax^2 -a=0 [/tex3]
[tex3]x+x^4+a^2+a\cdot (-2x^2-1)=0 [/tex3]

[tex3]a = \frac{2x^2+1 \pm \sqrt{(-2x^2-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot (x+x^4)}}{2}[/tex3]
[tex3]a = \frac{2x^2+1 \pm \sqrt{(2x-1)^2 }}{2}[/tex3]
[tex3]a = \frac{2x^2+1 \pm |2x-1| }{2}[/tex3]
[tex3]5 = \frac{2x^2+1 \pm |2x-1| }{2}[/tex3]

Daí é basta resolver o módulo, sempre lembrando que [tex3]0 \leq x \leq \sqrt{5} [/tex3]

[Cardoso1979]

Observe:

x⁴ - 10x² + x + 20 = 0

Como - 10x² = - 5x² - x² - 4x² , x = 5x - 4x e x³ - x³ = 0 , temos:

x⁴ - 5x² - x² - 4x² + 5x - 4x + x³ - x³ = 0

Arrumando...

x⁴ + x³ - 5x² - x³ - x² + 5x - 4x² - 4x + 20 = 0

Agora vamos colocar na forma fatorada, vem;

x²( x² + x - 5 ) - x( x² + x - 5 ) - 4( x² + x - 5 ) = 0

Logo;

( x² + x - 5 ).( x² - x - 4 ) = 0

As raízes são :

[tex3]x_{1} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3]

[tex3]x_{2} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3]

[tex3]x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}[/tex3]

[tex3]x_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}[/tex3]

Fazendo a verificação, a única raíz que satisfaz a equação irracional é :

[tex3]x_{2} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3]

Logo;

S = { [tex3]-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3] }


Abraços!!

[snooplammer]

É interessante que, assumindo que a equação seja infinita chegaríamos a equação do [tex3]2º[/tex3] grau [tex3]x^2+x-5=0[/tex3]

Que é uma das equações da forma fatorada e contém a única solução do problema, como o colega falou acima

[Andre13000]

[tex3]\sqrt{5-x}=a\\
\sqrt{5-a}=x\\
5-x=a^2\\
5-a=x^2\\
a-x=a^2-x^2\\
(a-x)=(a-x)(a+x)[/tex3]

Duas soluções:

[tex3]a-x=0\\
a+x=1[/tex3]

E termina-se com aplicação de Baskara.

[MatheusBorgesMOD]

Ótima solução Andre13000!