Ensino Fundamental ⇒ Quais são esses polígonos?

[mariaduarte]

Um polígono regular tem 4 lados a mais que o outro, e o seu ângulo interno excede em 15° o outro. Quais são esses polígonos?

[csmarceloMOD]

Um polígono regular tem 4 lados a mais que o outro...

[tex3]n_2=n_1+4[/tex3]

... e o seu ângulo interno excede em 15° o outro.

[tex3]\frac{180(n_2-2)}{n_2}=\frac{180(n_1-2)}{n_1}+15[/tex3]

Daí,

[tex3]\frac{180[(n_1+4)-2]}{n_1+4}=\frac{180(n_1-2)}{n_1}+15[/tex3]

[tex3]{n_1}^2+4n_1-96=0[/tex3]

[tex3]n_1=8[/tex3]
ou
[tex3]\cancel{n_1=-12}[/tex3]

Portanto, temos um octógono [tex3](n_1=8)[/tex3] e um dodecágono [tex3](n_2=n_1+4=12)[/tex3].

[mariaduarte]

amigo muito obrigada pela sua atenção

[mariaduarte]

vc fez mmc para chegar aequação do segundo grau me enrolei aqui

[PedroCosta]

[tex3]S_i = (n-2)\cdot 180º \\ a_i = \frac{S_i}{n} \rightarrow a_i = \frac{(n-2)\cdot 180º}{n}[/tex3]
Pelo enunciado:
[tex3]a_i = a_j + 15º[/tex3]
Sendo o número de lados para [tex3]a_j[/tex3] corresponde a [tex3]l[/tex3]:
[tex3]a_j = \frac{l-2}{l}\cdot 180º[/tex3]
Sendo o número de lados para [tex3]a_i[/tex3] corresponde a [tex3]l+4[/tex3]:
[tex3]a_i = \frac{l+2}{l+4}\cdot 180º[/tex3]
Como [tex3]a_i = a_j + 15º[/tex3] e 15º = 180º/12:
[tex3]\frac{l+2}{l+4}\cdot 180º = \frac{l-2}{l}\cdot 180º + \frac{180º}{12} \rightarrow \frac{l+2}{l+4} = \frac{l-2}{l} + \frac{1}{12}\\
\frac{l+2}{l+4} - \frac{l-2}{l} = \frac{1}{12} \rightarrow \frac{l(l+2)-(l+4)(l-2)}{l(l+4)} = \frac{1}{12} \rightarrow \frac{8}{l(l+4)} = \frac{1}{12} \\
\frac{1}{l(l+4)} = \frac{1}{8\cdot 12}[/tex3]
Se [tex3]l = 8[/tex3], então os polígonos regulares são: octógono e dodecágono.
PS: O colega foi mais ligeiro.

[mariaduarte]

não consegui teria um jeito mais facil

[mariaduarte]

como chegar a equação do segundo grau

[PedroCosta]

[tex3]\frac{1}{l(l+4)} = \frac{1}{8\cdot 12}[/tex3] (i)
Nós temos aqui uma equação do segundo grau. Se você atribuir o valor de [tex3]l = 8[/tex3], você já encontra a resposta:
[tex3]\frac{1}{8(8+4)} = \frac{1}{8\cdot 12}[/tex3]
A outra raiz será negativa. Para deixar isso claro basta desenvolver (i) e aplicar as relações de Girard:
[tex3]l^2 + 4l - 96 = 0 \\
l_1+l_2 = -4\\
l_1\cdot l_2 = -96[/tex3]
Perceba que o produto das raízes é negativo. Então, você tem uma raiz positiva e outra negativa. Como se trata de número de lados, você descartará a negativa.

[mariaduarte]

queridos amigos estou finalizando vcs foram maravilhosos Deus os abençoe