Ensino Médio ⇒ Dúvida - Fração - Potenciação Tópico resolvido

[pinheiragem]

Se [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são números Reais, tais que: [tex3]\frac{x^{2}+y^2}{x^{2}-y^{2}} + \frac{x^{2}-y^2}{x^{2}+y^{2}}=K[/tex3]. O valor de: [tex3]\frac{x^{8}+y^8}{x^{8}-y^{8}} + \frac{x^{8}-2^8}{x^{8} + y^{8}}[/tex3] é:

Boa noite, eu estou com um problema nessa questão.. Só consigo simplificar o K, ficando: [tex3]\frac{2x^{4}+2y^4}{x^{4}-y^{4}}[/tex3]

e o outro valor, simplificando, fica: [tex3]\frac{2x^{16}+2y^{16}}{x^{16}-y^{16}}[/tex3] Não vejo como chegar até a resposta, tentei de várias formas mas só gastei papel.

Alguém pode desvendar esse "mistério"?
Desde já, obrigado!

[pinheiragem]

@pinheiragem,

O correto é [tex3]\frac{x^{8}+y^8}{x^{8}-y^{8}} + \frac{x^{8}-\color{red}y^8}{x^{8} + y^{8}}[/tex3]

Seja u = [tex3]\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} \implies \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \frac{1}{u} \therefore u + \frac{1}{u} = k[/tex3]
[tex3]x^4 + y^4 = \frac{(x^2+y^2)^2 + (x^2-y^2)^2}{2}\\x^4 - y^4 = (x^2+y^2)(x^2-y^2)\\
u_4 = \frac{x^4+y^4}{x^4-y^4} = \frac{(x^2+y^2)^2 + (x^2-y^2)^2}{2(x^2+y^2)(x^2-y^2)}\\u_4 = \frac{\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}{2} = \frac{u + \frac{1}{u}}{2}\\
u + \frac{1}{u} = k \implies \mathbf{u_4 = \frac{k}{2}}[/tex3]
Usando a mesma lógica do passo anterior, a razão [tex3]u_8 = \frac{(x^4+y^4)^2 + (x^4-y^4)^2}{2(x^4+y^4)(x^4-y^4)} = \frac{\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4} + \frac{x^4-y^4}{x^4+y^4}}{2} = \frac{u_4 + \frac{1}{u_4}}{2}\\Substituindo :u_4 = \frac{k}{2}:u_8 = \frac{\frac{k}{2} + \frac{2}{k}}{2} = \frac{\frac{k^2+4}{2k}}{2} = \mathbf{\frac{k^2+4}{4k}}[/tex3]
[tex3]E = u_8 + \frac{1}{u_8}:E = \frac{k^2+4}{4k} + \frac{4k}{k^2+4} = \frac{(k^2+4)^2 + (4k)^2}{4k(k^2+4)}\\E = \frac{(k^4 + 8k^2 + 16) + 16k^2}{4k^3 + 16k} =\boxed{ \frac{k^4 + 24k^2 + 16}{4k^3 + 16k}}
[/tex3]