Ensino Fundamental ⇒ Grandezas Diretamente Proporcionais: Volume x Tempo Tópico resolvido

[rosana26]

5 torneiras enchem um tanque em 2hs e um escoadouro o esvazia em 12hs. Abrindo-se mais 8 torneiras e 2 escoadouros, em quanto tempo o tanque ficará cheio? R: 50min8 2/7seg

[cajuADMIN]

Olá rosana26,

Começamos com uma regra de três pra saber quantas horas os 5 torneiras mais as 8 (resultando 13 torneiras) encheriam o tanque:

5 ---> 2
13 --> x

Veja que esta é uma regra de três inversa, pois quanto MAIS torneiras MENOS tempo leva pra encher o tanque:

[tex3]5\cdot 2=13\cdot x[/tex3]

[tex3]x=\frac{10}{13}\,\text{horas}[/tex3]

Agora vem uma dúvida de interpretação, abriremos mais 2 escoadouros ou teremos 2 escoadouros abertos? Utilizarei MAIS 2 escoadouros, ou seja, teremos 3 abertos:

1 --> 12
3 --> y

Novamente uma regra de três inversa, pois quanto MAIS escoadouros, MENOS tempo será necessário para esvaziar o tanque.

[tex3]12=3y\rightarrow y=4[/tex3]

Agora devemos raciocinar.

Com 13 torneiras, enchemos 1 tanque em [tex3]\frac{10}{13}[/tex3] horas. Ou seja, podemos dizer que temos uma velocidade de enchimento do tanque de [tex3]\frac{1}{\frac{10}{13}}=\frac{13}{10}[/tex3] tanques/hora.

E teremos uma velocidade de esvaziamento do tanque (escoadouros) de 1 tanque a cada 4 horas, ou seja, [tex3]\frac 14[/tex3] tanques/hora

Sabemos que, se multiplicarmos uma velocidade pelo tempo, teremos o quanto o tanque foi enchido ou esvaziado (dependendo da velocidade utilizada).
Digamos que levará [tex3]t[/tex3] horas para encher o tanque. Neste tempo, as torneiras terão enchido [tex3]\frac{13}{10}\cdot t[/tex3] tanques, e os escoadouros terão esvaziado [tex3]\frac t4[/tex3] tanques.

Diminuindo o que entrou de água com o que saiu de água, teremos o que foi efetivamente enchido:

[tex3]\frac{13}{10}\cdot t-\frac t4[/tex3] e isto deve ser igual a 1, pois queremos encher 1 tanque:

[tex3]\frac{13}{10}\cdot t-\frac t4=1[/tex3]

Resolvendo, chegamos em:

[tex3]t=\frac{20}{21}\,\,\text{horas}[/tex3]

Esse é o tempo, em horas, que leva pra encher o tanque. Multiplicando por 60 transformamos em minutos

[tex3]t=\frac{20}{21}\cdot 60=\frac{400}{7}=57+\frac 17\,\,\text{minutos}[/tex3]

Ao multiplicar os minutos fracionários por 60 estamos transformando em segundos. Ou seja:

[tex3]t=57\,\,\text{minutos}+\frac 17\cdot 60\,\,\text{segundos}=57\,\,\text{minutos}+8\,\frac 47\,\text{segundos}[/tex3]