(UnB) Números Complexos: Forma Trigonométrica

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ALDRIN Offline: Mensagens: 4857; Registrado em: 09 Abr 2008, 16:20; Localização: Brasília-DF; Agradeceu: 2622 vezes; Agradeceram: 311 vezes

Jul 2008 05 22:57

(UnB) Números Complexos: Forma Trigonométrica

Mensagempor ALDRIN » 05 Jul 2008, 22:57

Mensagem por ALDRIN » 05 Jul 2008, 22:57

Os argumentos das [tex3]n[/tex3] raízes [tex3]n-[/tex3] ésimas de um número complexo, não nulo, formam uma P.A. de primeiro termo [tex3]\frac{\theta}{n}[/tex3] e razão [tex3]\frac{2\pi}{n},[/tex3] onde [tex3]\theta[/tex3] é o argumento principal de [tex3]z[/tex3] ?

Editado pela última vez por ALDRIN em 05 Jul 2008, 22:57, em um total de 1 vez.

"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.

Hoefer, H., 80.

ALDRIN

caju Offline: Mensagens: 2250; Registrado em: 19 Out 2006, 15:03; Localização: londrina; Agradeceu: 1185 vezes; Agradeceram: 1723 vezes; Contato:
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Jul 2008 06 12:14

Fórmula de Moivre

Mensagempor caju » 06 Jul 2008, 12:14

Mensagem por caju » 06 Jul 2008, 12:14

Olá Aldrin,

Pela fórmula de Moivre para radiciação

[tex3]Z^{\frac 1n}=|Z|^{\frac 1n}\cdot\[\cos\(\frac{\theta+2k\pi}{n}\)+i\cdot\sin\(\frac{\theta+2k\pi}{n}\)\][/tex3]

Onde [tex3]n[/tex3] varia de [tex3]0[/tex3] até [tex3]n-1[/tex3], vemos que os argumentos serão:

[tex3]k=0\Longrightarrow\frac{\theta}{n}[/tex3]

[tex3]k=1\Longrightarrow\frac{\theta+2\pi}{n}[/tex3]

[tex3]k=2\Longrightarrow\frac{\theta+4\pi}{n}[/tex3]

...

Veja que, então, a afirmativa do enunciado é correta.

Editado pela última vez por caju em 06 Jul 2008, 12:14, em um total de 1 vez.

"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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caju

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(UnB) Números Complexos: Forma Trigonométrica

Últ. msg por caju « 06 Jul 2008, 12:07
Enviado em Pré-Vestibular
Resp.: 1
por ALDRIN » 05 Jul 2008, 13:00 » em Pré-Vestibular

Primeira Postagem

ALDRIN

Todo número complexo, não nulo, admite [tex3]n[/tex3] raízes [tex3]n-[/tex3] ésimas distintas ?

Últ. msg

caju

Olá Aldrin,

Esta é apenas uma maneira de enxergar a fórmula de Moivre para a radiciação:

[tex3]z^{\frac 1n}=|z|^{\frac 1n}\cdot\[\cos\(\frac{\theta+2k\pi}{n}\)+i\cdot\sin\(\frac{\theta+2k\pi}{n}\)\][/tex3]
Onde [tex3]k[/tex3] pode variar de...
ALDRIN1caju1: 1 Resp.; 683 Exibições; Últ. msg por caju
06 Jul 2008, 12:07

(UnB) Números Complexos: Forma Trigonométrica

Últ. msg por caju « 06 Jul 2008, 12:08
Enviado em Pré-Vestibular
Resp.: 1
por ALDRIN » 05 Jul 2008, 13:13 » em Pré-Vestibular

Primeira Postagem

ALDRIN

Todas as [tex3]n[/tex3] raízes [tex3]n-[/tex3] ésimas de um número complexo, não nulo, têm o mesmo módulo dado por [tex3]\sqrt[n]{|z|}[/tex3] ?

Últ. msg

caju

Olá Aldrin,

Novamente, pela fórmula de Moivre para a radiciação:

[tex3]z^{\frac 1n}=|z|^{\frac 1n}\cdot\left[\cos\(\frac{\theta+2k\pi}{n}\)+i\cdot\sin\(\frac{\theta+2k\pi}{n}\)\right][/tex3]
Podemos ver que, independente do valor de k...
ALDRIN1caju1: 1 Resp.; 810 Exibições; Últ. msg por caju
06 Jul 2008, 12:08

Números Complexos: Forma Trigonométrica

Últ. msg por caju « 03 Nov 2006, 10:12
Enviado em Ensino Médio
Resp.: 1
por mawapa » 03 Nov 2006, 00:04 » em Ensino Médio

Primeira Postagem

mawapa

Como eu faço para achar todas as raízes de [tex3]x^4 + 16 = 0[/tex3]

Sei que [tex3]2i[/tex3] e [tex3]{-}2i[/tex3] são raízes, e as outras?

Últ. msg

caju

Olá Mawapa,

Primeiramente, [tex3]2i[/tex3] não é solução da questão, pois [tex3](2i)^4 = 16.[/tex3]

Você deve utilizar a fórmula de Moivre para raízes de números complexo.

[tex3]x=(-16+0\cdot i)^{\frac{1}{4}}[/tex3]
Para aplicar a fórmula,...
caju1mawapa1: 1 Resp.; 2022 Exibições; Últ. msg por caju
03 Nov 2006, 10:12

(ITA - 1981) Números Complexos: Forma Trigonométrica

Últ. msg por marco_sx « 27 Mai 2016, 13:36
Enviado em IME / ITA
Resp.: 3
por Daniel Hartmann » 24 Fev 2007, 14:59 » em IME / ITA

Primeira Postagem

Daniel Hartmann

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]k[/tex3] constantes reais, sendo [tex3]a > 0[/tex3] e [tex3]0 < k < 1.[/tex3] De todos os números complexos [tex3]z[/tex3] que satisfazem a relação [tex3]|z - ai| \leq ak,[/tex3] qual é o de menor argumento?

a) z=...

Últ. msg

marco_sx

Olá Daniel.

O lugar geométrico de [tex3]z[/tex3] para [tex3]\mid z-ai\mid \leq ak[/tex3] é uma circunferência e círculo com centro [tex3](0,a)[/tex3] e raio [tex3]ak[/tex3].
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