Ensino Superior ⇒ (ENAD - 2005) Equações Polinomiais Tópico resolvido

[janson]

Considere [tex3]P(x)=(m-4)(m^2+4)x^5+x^2+kx+1[/tex3] um polinômio na variável [tex3]x,[/tex3] em que [tex3]m[/tex3] e [tex3]k[/tex3] são constantes reais. Assinale a opção que apresenta condições a serem satisfeitas pelas constantes [tex3]m[/tex3] e [tex3]k[/tex3] para que [tex3]P(x)[/tex3] não admita raiz real.

a) [tex3]m \,=\, 4\,\,\text{e}\,\, -2\, <\, k\, <\, 2[/tex3]
b) [tex3]m \,=\,- 4\,\,\text{e}\,\, k\, >\, 2[/tex3]
c) [tex3]m \,=\, -2\,\,\text{e}\,\, -2\, <\, k\, <\, 2[/tex3]
d) [tex3]m \,=\, 4\,\,\text{e}\,\, k\, <\, 2[/tex3]
e) [tex3]m \,=\, -2\,\,\text{e}\,\, k\, >\, -2[/tex3]

[petrasMOD]

" O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau ímpar tem um número ímpar de zeros (o número de zeros complexos é igual ao grau do polinômio). Como os zeros complexos ocorrem em pares conjugados, um polinômio de grau ímpar deve ter, pelo menos, um zero real."

Como um polinômio de grau ímpar sempre tem um zero real precisamos: [tex3](m-4)(m^2+4)=0 \therefore m = 4[/tex3]

Ficamos então com: [tex3]x^2+kx+1 \rightarrow [/tex3] Uma função de 2^o grau para não ter raízes reais [tex3]\rightarrow \bigtriangleup <0\rightarrow k^2-4 < 0\rightarrow -2 < k < 2[/tex3]

[tex3]S =\boxed{m=4 ~e~-2 < k < 2}[/tex3]

LETRA A