Ensino Superior ⇒ Volume de sólido [INTEGRAL DUPLA] Tópico resolvido

[MRLagrange]

Encontre o volume do sólido abaixo do parabolóide z = 2 - x² - y² e acima do parabolóide z = x² + y².

Alguém me ajuda, por favor? Consigo chegar somente na integral, e após isso não consigo resolvê-la. Não tenho certeza dos meus resultados

[IgorAM]

Qual integral você chegou?

[MRLagrange]

[tex3]\int\limits_{??}^{??}\int\limits_{??}^{??} (2 - 2x² - 2y²)dydx[/tex3]

Não consegui achar os limites de integração também, por isso os "??"

[Cardoso1979]

Observe:

Questões deste tipo, devemos primeiramente esboçar a região a ser determinada, ou melhor, do sólido obtido, para o parabolóide z = 2 - x² - y²,temos:

Para x = 0 e y = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] z = 2

Para z = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x² + y² = 2

Fazendo a intersecção entre os parabolóides, vem;

x² + y² = 2 - x² - y² [tex3]\rightarrow [/tex3] x² + y² = 1( projeção do sólido obtido no plano xy ),, como trata-se de um círculo centrado na origem de raio um(1), então, 0 [tex3]\leq r\leq 1[/tex3] e [tex3]0 \leq \theta \leq 2π[/tex3]( volta completa ).Pronto, com esses dados já podemos esboçar o gráfico.

Graficamente

15175016254131219752303.jpg (57.2 KiB) Exibido 1945 vezes

Por outro lado, a função que será integrada é [tex3]f( x , y ) = 2- x² - y²( função\ limitada\ superiormente ) - ( x² + y² )( função\ limitada \
inferiormente ) \rightarrow [/tex3]
[tex3]f( x , y ) = 2 - 2x² - 2y²[/tex3].Portanto, a descrição do sólido D em coordenadas cartesianas é: D = { ( x , y ) [tex3]\in \mathbb{R²}/ -1\leq x\leq 1[/tex3]; [tex3]- \sqrt{1 - x²}\leq y \leq \sqrt{1 - x²} [/tex3]}

Daí;

V = [tex3]\int\limits_{-1}^{1} \int\limits_{-\sqrt{1 - x²}}^{\sqrt{1-x²}}( 2 - 2x²
- 2y² )dydx[/tex3]

Obs.1 [tex3]x^{2} + y^{2} = 1 \rightarrow [/tex3] y = [tex3]\pm \sqrt{1 -
x²} [/tex3]


A melhor maneira neste caso é resolvermos usando coordenadas polares, a descrição do sólido D em coordenadas polares é:
D = { ( r , [tex3]\theta [/tex3])[tex3]\in \mathbb{R²} /0\leq r\leq 1;0\leq \theta \leq 2π[/tex3]}

Então;

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}( 2 - 2r² )rdrd\theta [/tex3]

[tex3]V=2\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}( r - r³ )drd\theta [/tex3]

[tex3]V = 2.\int\limits_{0}^{2π}( \frac{1²}{2} -
\frac{1^{4}}{4}) d\theta [/tex3]

[tex3]V = 2.\int\limits_{0}^{2π} \frac{1}{4} d\theta [/tex3]

[tex3]V = 2.\frac{2π}{4} [/tex3]

[tex3]V = π [/tex3]

Portanto, o volume do sólido obtido vale [tex3]π u.v.[/tex3]

Nota
x² + y² = r²

x = r.cos [tex3]\theta [/tex3]

y = r.sen [tex3]\theta [/tex3]

Bons estudos para quem estiver estudando este assunto!