Ensino Superior ⇒ Integral Tripla: Volume de um Sólido Tópico resolvido

[roberto]

Seja w o sólido limitado superiormente pela superfície z=4-x²-y² e inferiormente pelo plano z=4-2x.
a) Esboce w
b)Calcule por integrau tripla o volume do sólido w

[Cardoso1979]

Observe:

a) Vamos substituir valores na superfície z = 4 - x² - y² ( parabolóide ), temos:

Para z = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x² + y² = 4( base do parabolóide )

Para x = 0 , y = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] z = 4( vértice do parabolóide )

Agora vamos substituir valores no plano z = 4 - 2x, temos;

Para z = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x = 2
Para x = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] z = 4

Esboço

15176257625481387004279.jpg (50.92 KiB) Exibido 1250 vezes

b) A projeção D do sólido W no plano xy se encontra combinando as duas superfícies:

[tex3]\begin{cases}
z = 4 - x² - y² \\
z = 4 - 2x
\end{cases}[/tex3]

Então,

4 - x² - y² = 4 - 2x [tex3]\rightarrow [/tex3] x² + y² - 2x = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x² - 2x + 1 + y² = 1 [tex3]\rightarrow [/tex3]( x - 1 )^2 + y² = 1.

1517625675664442683910.jpg (58.33 KiB) Exibido 1250 vezes

Então, D é dada por D: ( x - 1 )^2 + y² [tex3]\leq [/tex3] 1, onde W = { ( x , y , z ) ; ( x , y ) [tex3]\in [/tex3] D, 4 - 2x [tex3]\leq [/tex3] z [tex3]\leq [/tex3] 4 - x² - y² }, daí;

V(W) = [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}\int\limits_{4-2x}^{4-x²-y²}dzdxdy = \int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}( 2x - x² - y² )dxdy[/tex3]

Passando para coordenadas polares, temos:
[tex3]\begin{cases}
x=rcos\theta \\
y=rsen\theta \\
dxdy=rdrd\theta \\
x² + y² = r²
\end{cases}[/tex3]


De x² + y² = 2x temos r = 2cos [tex3]\theta [/tex3].Note que em D o ângulo polar [tex3]\theta [/tex3] varia de 0( no eixo polar ) a [tex3]\pi [/tex3] no ponto ( 0 , 0 ). Fixado [tex3]\theta [/tex3], tal que 0 [tex3]\leq \theta \leq π[/tex3]( note que o círculo se encontra no 1° e 4° quadrantes ), o raio vetor r deve variar desde 0 até o valor OP = 2cos [tex3]\theta [/tex3].

15176219362181595835838.jpg (56.51 KiB) Exibido 1250 vezes

Então, [tex3]D_{r\theta }[/tex3] é dado por [tex3]D_{r \theta }[/tex3]:
[tex3]\begin{cases}
0 \leq \theta \leq \pi \\
0\leq r\leq 2cos\theta
\end{cases}[/tex3]

Reescrevendo a integral dupla , fica;

[tex3]V(W) =\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{2cos\theta }( 2rcos\theta - r² )rdrd\theta [/tex3]

[tex3]V(W) =\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{2cos\theta }( 2r²cos\theta - r³ )drd\theta [/tex3]

[tex3]V(W) = \int\limits_{0}^{π}( \frac{2.2³cos^{3}\theta }{3}.cos\theta - \frac{{2^{4}cos}^{4}\theta }{4}d\theta [/tex3]

[tex3]V(W) = \int\limits_{0}^{π}( \frac{16cos^{4}\theta }{3} - {{4cos}^{4}\theta )}d\theta [/tex3]

[tex3]V(W) = \frac{4}{3}\int\limits_{0}^{π}{cos}^{4}\theta d\theta [/tex3]

Temos:

[tex3]cos^{4}\theta = (cos²\theta )^2 = \left(\frac{1+2cos\theta }{2}\right)^{2}= \frac{1}{4}( 1 + 2cos(2\theta)+cos²(2\theta))[/tex3]

Fazendo u = [tex3]2\theta \rightarrow [/tex3] du =2d [tex3]\theta \rightarrow d\theta = \frac{du}{2}[/tex3]
Daí;

Para [tex3]\theta [/tex3]= 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] u = 0

Para [tex3]\theta = \pi \rightarrow [/tex3] u = [tex3]2\pi [/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{π}cos^{4}\theta d\theta = \frac{1}{4}.\int\limits_{0}^{2π}( 1+2cos(u)
+ cos²(u) )\frac{du}{2} = \frac{1}{8}[ u + 2sen(u) + \frac{1}{2}( u + \frac{sen (2u)}{2})][/tex3] =

Substituindo 2 [tex3]\pi [/tex3] e 0, resulta em;

[tex3]\frac{1}{8}.[ 2π + 0 + \frac{1}{2}( 2π +
0 ) ] = \frac{3π}{8} [/tex3]

Então,

V(W) = [tex3]\frac{4}{3}.\frac{3π}{8} = \frac{π}{2}[/tex3]

Portanto, o volume do sólido W vale [tex3]\frac{π}{2}u.v.[/tex3]

Bons estudos para quem estiver estudando este assunto!!