Ensino Médio ⇒ Soma dos termos de uma pg infinita Tópico resolvido

[renavale3]

O lado de um triângulo equilátero mede 3 cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados do novo triângulo, obtém-se um outro triângulo equilátero, e assim sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os triângulos.

[jvmago]

Trace um [tex3]\Delta ABC[/tex3] com lados [tex3]l=3[/tex3] chame de [tex3]M, N [/tex3] e [tex3]P[/tex3] os pontos médios dos lados e em seguida una-os. Note que esses segmentos que passam pelos pontos médios são também Bases Médias. Isso nos leva a crer que todos os triangulos criados dessa forma terão a metade do lado do [tex3]\Delta [/tex3] anterior.

Seja [tex3]S[/tex3] a área do [tex3]\Delta abc [/tex3] e [tex3]S2[/tex3] a área do [tex3]\Delta mnp[/tex3]

Temos que [tex3]S=9*\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3] e [tex3]S2=\frac{9}{4}*\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]

Sua sequência será [tex3]S=(\frac{9\sqrt{3}}{4},*\frac{9\sqrt{3}}{16},...)[/tex3]

[tex3]q=\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]Sn=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{1}{4}}=3\sqrt{3}[/tex3]

[renavale3]

Resolução incorreta. A soma tem que dar 3 raiz quadrada de 3.

[jvmago]

Opa não me atentei que ele queria a área, vou corrigir a resolução.