Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um triângulo inscrito num círculo tem dois vértices: [tex3](3, 9)[/tex3] e [tex3](11, 3)[/tex3] sobre pontos extremos de um de seus diâmetros. O terceiro vértice está colocado de tal modo que a altura [tex3]h[/tex3] do triângulo, tornando-se como base o diâmetro, seja máxima possível. Se [tex3](x_1, y_1)[/tex3] e [tex3](x_2, y_2)[/tex3] são as soluções possíveis para o 3º vértice, calcule [tex3]x_1+y_1+x_2+y_2.[/tex3]

[Thales Gheós]

A reta que contem [tex3](3,9)[/tex3] e [tex3](11,3)[/tex3] contem o diâmetro da circunferência:

[tex3]\boxed{y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)}[/tex3] a reta é [tex3]y=-\frac{3x}{4}+\frac{45}{4}[/tex3], cujo centro [tex3]O[/tex3] é o ponto médio do segmento [tex3]\bar{AB}[/tex3] entre os pontos [tex3](3,9)[/tex3] e [tex3](11,3)[/tex3]

portanto, [tex3]O\rightarrow \,(7,6)[/tex3] e a distância [tex3]\bar{AO}=5[/tex3] ou [tex3]\bar{OB}=5[/tex3] é o raio da circunferência cuja equação é:

[tex3]\boxed{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2}[/tex3] a circunferência é [tex3](x-7)^2+(y-6)^2=25[/tex3]

como a altura do triângulo deve ser a maior possível, deve estar contida no diâmetro perpendicular a [tex3]y=-\frac{3x}{4}+\frac{45}{4}[/tex3] que está contido na reta [tex3]y=\frac{4x}{3}-\frac{10}{3}[/tex3] [tex3]([/tex3] a perpendicular que passa por [tex3]O(7,6))[/tex3]

trek.GIF (13.07 KiB) Exibido 3131 vezes

os pontos procurados estão na intersecção dessa reta com a circunferência:

[tex3]\{y=\frac{4x}{3}-\frac{10}{3}\\(x-7)^2+(y-6)^2=25[/tex3]

resolvendo encontramos [tex3]C(4,2)[/tex3] e [tex3]D(10,10)[/tex3] de modo que [tex3]x_1+y_1+x_2+y_2=26[/tex3]

prá resolver uma coisa trabalhosa dessas num vestibular é preciso ter muita calma...

[ALDRINMOD]

Thales, consegui outra solução.

circ.GIF (13.07 KiB) Exibido 3104 vezes

Sendo o centro [tex3]C(7, 6)[/tex3], temos

[tex3]x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=7[/tex3]; e
[tex3]y_0=\frac{y_1+y_2}{2}=6[/tex3]

[tex3]x_1+x_2=14[/tex3]
[tex3]y_1+y_2=12[/tex3]

Portanto, somando as duas equações:

[tex3]x_1+y_1+x_2+y_2=26[/tex3]