Ensino Superior ⇒ Estoque Médio Tópico resolvido

[rean]

Um estoque de 60.000 quilogramas de certo produto é usado a uma taxa constante, e se esgota após um ano. Qual foi o estoque médio do ano?

[AnthonyC]

Sabemos que o estoque é usado a uma taxa constante. Portanto, essa taxa [tex3](C)[/tex3] é igual a diferença entre a quantia inicial e final dividida pelo tempo de uso:
[tex3]C={0\text{ kg}-60.000\text{ kg}\over 1 \text{ ano}}[/tex3]
[tex3]C=-60.000{\text{ kg}/ \text{ano}}[/tex3]
Sabemos que taxa é igual a variação da quantia no tempo, logo:
[tex3]{dq\over dt}=C[/tex3]
[tex3]{dq}=Cdt[/tex3]
[tex3]\int {dq}=\int Cdt[/tex3]
[tex3]q(t)=Ct+K[/tex3]
Como no instante inicial [tex3](t=0)[/tex3] a quantia era [tex3]60.000\text{ kg}[/tex3], temos:
[tex3]60.000=C\cdot 0+K[/tex3]
[tex3]K=60.000 \text{ kg} [/tex3]
Portanto:
[tex3]q(t)=60.000-60.000\cdot t[/tex3]
Sabemos que o valor médio de uma variável contínua [tex3]f(x)[/tex3] num intervalo [tex3][a,b][/tex3] é dado por:
[tex3]\overline f={1\over b-a}\int_a^b f(x)dx[/tex3]
Num período de [tex3]1[/tex3] ano, temos [tex3]0\leq t\leq 1[/tex3]. Portanto, o estoque médio pode ser determinado por:
[tex3]\overline q={1\over 1\text{ ano}}\int _0^1 q(t)dt[/tex3]
[tex3]\overline q=\int _0^1 (60.000-60.000 t)dt[/tex3]
[tex3]\overline q= \[60.000t-60.000 {t^2\over 2}\] _0^1[/tex3]
[tex3]\overline q=30.000 \text{ kg}[/tex3]