Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Geometria Espacial: Tronco de Cone Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Julgue o item abaixo.

(1) O volume de um tronco de cone reto de base circular em função da altura [tex3]h[/tex3] (do tronco) e dos raios das bases [tex3]r[/tex3] e [tex3]R,[/tex3] é dado por: [tex3]V=\frac{1}{3}\cdot \pi\frac{h}{R-r}(R^3-r^3)[/tex3].

Resposta

---

C

[Larissa]

Sim, essa fórmula é uma expressão mais desenvolvida da que é comumente utilizada. Mas obviamente está correta, ok?

[ALDRINMOD]

Ok, mas faltou demonstrar.

[theblackmamba]

Olá ALDRIN,

H = altura do cone
h = altura do tronco
h' = altura do cone menor
h' = H - h

Volume do cone total:
[tex3]V = \frac{1}{3} \pi \cdot R^2 \cdot H[/tex3]

Relações:
[tex3]\frac{h'}{H} = \frac{r}{R}[/tex3]
[tex3]\frac{H-h}{H} = \frac{r}{R}[/tex3]
[tex3]H(R - r) = Rh[/tex3]
[tex3]H = \frac{Rh}{R-r}[/tex3]

Volume do cone menor:
[tex3]V_1 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h'[/tex3]
[tex3]V_1 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot (H-h)[/tex3]

O volume do tronco será:
[tex3]V_t = V - V_1[/tex3]
[tex3]V_t = \frac{1}{3} \pi \cdot R^2 \cdot H - \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot (H-h)[/tex3]
[tex3]V_t = \frac{1}{3} \pi \(R^2 \cdot H - r^2 H + r^2 h\)[/tex3]
[tex3]V_t = \frac{1}{3} \pi \(R^2 \cdot \frac{Rh}{R-r} - r^2 \cdot \frac{Rh}{R-r} + r^2 h\)[/tex3]
[tex3]V_t = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{h}{R-r} \(R^3 - Rr^2 + r^2(R-r)\)[/tex3]
[tex3]\boxed{V_t = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{h}{R-r} \(R^3 - r^3 \)}[/tex3]

Abraço.