Pré-Vestibular ⇒ (UFRGS) Radiciação Tópico resolvido

[Liss15]

Amigos, poderiam me ajudar nessa questão?

Eu não poderia considerar raiz para toda a expressão? E resolver normalmente?

O quadrado do número é [tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}[/tex3]

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

Resposta

---

C

[WagnerMachado]

Não entendi, considerar a raiz para toda a expressão?
Lembrando que se você tem [tex3]\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}[/tex3]
I) Considerando essa expressão sendo [tex3]x[/tex3], temos que:
[tex3]x=\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}[/tex3], elevando ao quadrado ambos os lados...
II) [tex3]x^2=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+2[\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}][/tex3]
III) Desenvolvendo..
[tex3]x^2=4+2(\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2})\Rightarrow x^2=4+2(\sqrt{4-3})\Rightarrow x^2=4+2\sqrt{1}[/tex3]
IV) Logo, [tex3]\boxed{x^2=6}[/tex3]

[Marcos]

Olá Liss15.Observe a solução:

[tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]K=\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]K^2=\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)^2[/tex3]
[tex3]K^2=\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} \right)^2+2.\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} \right).\left(\sqrt{2-\sqrt{3}} \right)+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}} \right)^2[/tex3]
[tex3]K^2=2+\sqrt{3} +2.\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} \right).\left(\sqrt{2-\sqrt{3}} \right)+2-\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]K^2=4 +2.\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} \right).\left(\sqrt{2-\sqrt{3}} \right)[/tex3]
[tex3]K^2=4 +2.\left(\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2} \right)[/tex3]
[tex3]K^2=4 +2.\left(\sqrt{2^2-3} \right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{K^2=6}}\Longrightarrow Letra: (C)[/tex3]

Resposta: [tex3]C[/tex3].

[Liss15]

Marcos, eu não entendi essas parte [tex3]K^2= 2+\sqrt{3} +2.\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} \right).\left(\sqrt{2-\sqrt{3}} \right)+ 2-\sqrt{3} [/tex3]
a soma do quadrado de dois termos sim, mas o resto ali não

[Marcos]

Liss15[/b] post_id=166496 time=1518786189 user_id=19487]
Amigos, poderiam me ajudar nessa questão?
Eu não poderia considerar raiz para toda a expressão? E resolver normalmente?
O quadrado do número é [tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}[/tex3]

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

Resposta

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C

Olá Liss15

O enunciado teria que ser o problema abaixo:

O quadrado do número é [tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}+2 - \sqrt{3}} [/tex3]

Espero ter esclarecido a dúvida.

[Liss15]

Marcos, ahhhh sim! Eu percebi isso mesmo. É porque tinha feito uma que era a multiplicação ao invés de soma e confundi
Mas, tu poderias me explicar essa parte aqui:
[tex3]K^2= 2+\sqrt{3} +2.\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} \right).\left(\sqrt{2-\sqrt{3}} \right)+ 2-\sqrt{3} [/tex3]
Como que surgiu esse [tex3]2 + \sqrt{3}[/tex3]?

[Liss15]

Eu estou confundindo e pensando que é para fazer o produto notável de [tex3]\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} \right)^2[/tex3]
Aliás, porque não faz?

[WagnerMachado]

Eu estou confundindo e pensando que é para fazer o produto notável de [tex3]\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} \right)^2[/tex3]
Aliás, porque não faz?

Basta você lembrar que [tex3]\sqrt{a^2}=a[/tex3].
É como se você tivesse [tex3]\sqrt{4}^2=\sqrt{4}.\sqrt{4}=\sqrt{16}=4[/tex3], perceba que se você cancelar a raiz com o expoente quadrado, você já obtém o resultado final diretamente.

[Liss15]

WagnerMachado, aah! Pera lá...
Então, esse [tex3]\left(\sqrt{2}\right)^2[/tex3] simplifica e no final sobra o [tex3]\sqrt{3} [/tex3]?

[WagnerMachado]

WagnerMachado, aah! Pera lá...
Então, esse [tex3]\left(\sqrt{2}\right)^2[/tex3] simplifica e no final sobra o [tex3]\sqrt{3} [/tex3]?

Você está confundindo. Na questão, a raiz abrange [tex3]2+\sqrt{3}[/tex3] de um lado, e, [tex3]2-\sqrt{3}[/tex3] do outro, logo, [tex3](\sqrt{2+\sqrt{3}})^2=2+\sqrt{3}[/tex3].