IME / ITA ⇒ (CN/1984) Segmentos Tangentes Tópico resolvido

[WagnerMachado]

As retas [tex3]\overrightarrow{PA}[/tex3] e [tex3]\overrightarrow{PB}[/tex3] são tangentes à circunferência de raio [tex3]R[/tex3] nos postos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3], respectivamente. Se [tex3]\overrightarrow{PA}=3x[/tex3] e [tex3]x[/tex3] é a distância do ponto [tex3]A[/tex3] à reta [tex3]\overrightarrow{PB}[/tex3], então [tex3]R[/tex3] é igual a:

a) [tex3]3(3-2\sqrt{2})x[/tex3]
b) [tex3]3(3+2\sqrt{2})x[/tex3]
c) [tex3]3x[/tex3]
d) [tex3]2(2-3\sqrt{3})x[/tex3]
e) [tex3]x[/tex3]

Peço que se puderem mostrar o esboço da resolução, por favor mostrem. Mas caso não dê, tudo bem. Desde já, agradeço!!

Gabarito

---

a

[Ittalo25MOD]

asa.png (17.07 KiB) Exibido 1534 vezes

Tangentes partindo do mesmo ponto são congruentes, logo PA=PB=3x

Para descobrir CP:

[tex3]CP^2 +CA^2 = PA^2[/tex3]
[tex3]CP^2 +x^2 = (3x)^2[/tex3]
[tex3]CP= \sqrt{8x^2}[/tex3]

Ora, então: [tex3]BC = 3x-\sqrt{8x^2} [/tex3]

Traçando OE perpendicular à CA, então CE=BO=R

Ora, então: [tex3]EA = x-R [/tex3]

Pitágoras no triângulo OEA:

[tex3]R^2 = (x-R)^2 + (3x-\sqrt{8x^2})^2 [/tex3]
[tex3]\boxed {R = 3x(3-2\sqrt{2})}[/tex3]

[WagnerMachado]

asa.png

Tangentes partindo do mesmo ponto são congruentes, logo PA=PB=3x

Para descobrir CP:

[tex3]CP^2 +CA^2 = PA^2[/tex3]
[tex3]CP^2 +x^2 = (3x)^2[/tex3]
[tex3]CP= \sqrt{8x^2}[/tex3]

Ora, então: [tex3]BC = 3x-\sqrt{8x^2} [/tex3]

Traçando OE perpendicular à CA, então CE=BO=R

Ora, então: [tex3]EA = x-R [/tex3]

Pitágoras no triângulo OEA:

[tex3]R^2 = (x-R)^2 + (3x-\sqrt{8x^2})^2 [/tex3]
[tex3]\boxed {R = 3x(3-2\sqrt{2})}[/tex3]

Obrigado mano. Dificilmente eu iria enxergar que teria que traçar esse triângulo retângulo.