IME / ITA ⇒ (AFA - 1999) Trigonometria: Funções Trigonométricas Inversas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O valor real que satisfaz a equação [tex3]\text{arcsen} x+\text{arcsen} 2x=\frac{\pi}{2},[/tex3] para [tex3]x[/tex3] pertencente ao intervalo [tex3](0, 1),[/tex3] é

a) [tex3]\frac{1}{5}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{5}}{5}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{2}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{14}{5}.[/tex3]

[SoNiC]

[tex3]\text{arcsen}x + \text{arcsen}2x = \frac{\pi}{2}[/tex3]

Sejam [tex3]a = \text{arcsen}x[/tex3] e [tex3]b = \text{arcsen}2x.[/tex3] Então:

• [tex3]\text{sen}a = x \Rightarrow \text{sen}^2a = x^2\Rightarrow 1- cos^2 a = x^2 \Rightarrow cos a = \sqrt{1-x^2}[/tex3]

O cosseno é positivo, pois a função [tex3]\text{arcsen}[/tex3] tem [tex3]a[/tex3] em seu domínio variando de [tex3]\left]0; \frac{\pi}{2}\right[.[/tex3]

Daí teremos também,

• [tex3]\text{sen}b = 2x \Rightarrow \text{sen}^2 b = 4x^2 \Rightarrow 1 - cos^2 b = 4x^2 \Rightarrow cos b = \sqrt{1 - 4x^2}[/tex3]

Aplicando a função seno dos dois lados na primeira equação:

• [tex3]\text{sen}(a+b) = \text{sen}\frac{\pi}{2}[/tex3]
  [tex3]\text{sen}a \cdot cos b + \text{sen} b \cdot cos a = 1[/tex3]
  [tex3]x\cdot \sqrt{1 - 4x^2} + 2x\cdot\sqrt{1-x^2} = 1[/tex3]
  [tex3]\sqrt{1 - 4x^2} + 2\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{x}[/tex3]

Elevando ao quadrado:

• [tex3]1 - 4x^2 + 4 - 4x^2 + 4.\sqrt{(1-x^2)(1-4x^2)} = \frac{1}{x^2}[/tex3]
  [tex3]4.\sqrt{(1-x^2)(1-4x^2)} = \frac{1}{x^2} -5 + 8x^2[/tex3]

Elevando ao quadrado novamente:

• [tex3]16.(1-x^2)(1-4x^2) = \frac{1}{x^4}+ 64x^4 + 25 + 16 - \frac{10}{x^2}- 80x^2[/tex3]
  [tex3]16 - 80x^2 + 64x^4 = \frac{1}{x^4}+ 64x^4 + 25 + 16 - \frac{10}{x^2}- 80x^2[/tex3]

Cortando os termos semelhantes, ficamos com a equação:

• [tex3]\frac{1}{x^4}-\frac{10}{x^2} + 25 = 0[/tex3], e chamando [tex3]\frac{1}{x^2} = y[/tex3]
  [tex3]y^2 - 10y + 25 = 0[/tex3]

[tex3]y = 5[/tex3] é a única resposta, daí:

• [tex3]\frac{1}{x^2} = 5[/tex3]
  [tex3]x = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex3], como ele só quer as respostas entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3]
  [tex3]x = \frac{\sqrt{5}}{5}.[/tex3]

Alternativa (b).

[snooplammer]

Um outro modo, que julgo interessante.

Note que [tex3]\arcsen x = \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}[/tex3]

[tex3]\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \arctan \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}} = \frac{\pi}{2}[/tex3]

Mas, [tex3]\arg z + \arg w = \arg zw[/tex3]. Então definindo os complexos [tex3]z = \sqrt{1-x^2} + xi[/tex3] e [tex3]w = \sqrt{1 - 4x^2} + 2ix[/tex3]

[tex3]\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \arctan \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}} = \arg z + \arg w = \arg zw [/tex3]

[tex3]zw = \sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2 + i\left(x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}\right)[/tex3]

[tex3]\arg zw = \arctan \left(\frac{x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2}\right) = \frac{\pi}{2}[/tex3]

Então [tex3]\frac{x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2}[/tex3] tem que explodir pra infinito, tomando [tex3]\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2 = 0 \iff 4x^4 = (1 - 4x^2)(1 - x^2) = 1 - x^2 - 4x^2 + 4x^4 \iff x^2 = \frac{1}{5}[/tex3], como [tex3]x > 0[/tex3], [tex3]x = \frac{\sqrt 5}{5} \ \ \blacksquare[/tex3]