Pré-Vestibular ⇒ (UFPR - 2006) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[edu_landim]

João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma dessas experiências consistia em escolher um número [tex3]\large x_1[/tex3] qualquer, somar [tex3]5[/tex3] e dividir o resultado por [tex3]2,[/tex3] obtendo um novo número [tex3]\large x_2[/tex3]. A seguir ele somava [tex3]5[/tex3] a [tex3]\large x_2[/tex3] e dividia o resultado por [tex3]2,[/tex3] obtendo um novo número [tex3]\large x_3[/tex3]. Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números

• [tex3]\large x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5,\, \cdots ,\, x_n[/tex3]

Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual tivesse iniciado a seqüência de operações, João reparou que o valor [tex3]\large x_n[/tex3] se aproximava sempre do mesmo número. Que número era esse?

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]1[/tex3]
c) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3]
d) [tex3]5[/tex3]
e) [tex3]\frac{15}{2}[/tex3]

[AnthonyC]

Podemos definir a operação da seguinte forma:
[tex3]x_{n+1}={x_n+5\over2}[/tex3]
Sabemos que após repetir a operação várias vezes, a sequência vai tender a um número [tex3]L[/tex3]. Sabemos que ao repetir a operação com esse número, obteremos ele novamente. Portanto:
[tex3]L={L+5\over2}[/tex3]
[tex3]2L={L+5}[/tex3]
[tex3]L={5}[/tex3]

[petrasMOD]

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