Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1979) Polinômios: Frações Parciais Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Decompondo-se a fração [tex3]\frac{4}{x^3-5x^2+4x}[/tex3] em frações parciais, obtém-se:

a) [tex3]\frac{1}{x}+\frac{-4}{3(x-1)}-\frac{1}{3(x-4)}.[/tex3]
b) [tex3]{-}\frac{1}{x}-\frac{4}{3(x-1)}-\frac{1}{3(x-4)}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{x}+\frac{4}{3(x-1)}+\frac{1}{3(x-4)}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{x}+\frac{-4}{3(x-1)}+\frac{1}{3(x-4)}.[/tex3]
e) [tex3]\frac{1}{x}+\frac{4}{3(x-1)}-\frac{1}{3(x-4)}.[/tex3]

[edu_landim]

Considere [tex3]A\,=\,\frac{4}{x^3-5x^2+4x}[/tex3]

• [tex3]A\,=\,\frac{4}{x\,\cdot\,(x^2\,-\,5x\,+\,4)}[/tex3]
  
  [tex3]A\,=\,\frac{4}{x\,\cdot\,(x\,-\,4)\,\cdot\,(x\,-\,1)}[/tex3]

Decompondo em frações parciais

• [tex3]\frac{m}{x}\,+\,\frac{n}{x\,-\,4}\,+\,\frac{p}{x\,-\,1}\,=\,\frac{4}{x\,\cdot\,(x\,-\,4)\,\cdot\,(x\,-\,1)}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{mx^2\,-\,5mx\,+\,4m\,+\,nx^2\,-\,nx\,+\,px^2\,-\,4px}{x\,\cdot\,(x\,-\,4)\,\cdot\,(x\,-\,1)}\,=\,\frac{4}{x\,\cdot\,(x\,-\,4)\,\cdot\,(x\,-\,1)}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{(m\,+\,n\,+\,p)x^2\,-(5m\,+\,4p\,+\,n)x\,+\,4m}{x\,\cdot\,(x\,-\,4)\,\cdot\,(x\,-\,1)}\,=\,\frac{4}{x\,\cdot\,(x\,-\,4)\,\cdot\,(x\,-\,1)}[/tex3]

De onde concluimos que [tex3]m\,+\,n\,+p\,=\,0[/tex3] e [tex3]5m\,+\,4p\,+\,n\,=\,0[/tex3] e [tex3]4m\,=\,4[/tex3]

Resolvendo esse sistema encontamos [tex3]m\,=\,1;\,n\,=\,-\,\frac{4}{3};\,p\,=\,\frac{1}{3}[/tex3], logo

• [tex3]A\,=\,\frac{1}{x}\,+\,\frac{-4}{3(x-1)}\,+\,\frac{1}{3(x-4)}[/tex3]