Pré-Vestibular ⇒ Geometria Analitica - Ortocentro Tópico resolvido

[Ronny]

Sejam [tex3]A(-2,1)[/tex3] e [tex3]B(3,-4)[/tex3], dois vértices do triângulo [tex3]ABC[/tex3]. O ponto [tex3]H(5,-1)[/tex3] é o ortocentro deste triângulo. Entao, as coordenadas do vertice [tex3]C [/tex3] serao:

[tex3]A)[/tex3] [tex3](-3;2)[/tex3]

[tex3]B)[/tex3] [tex3](1/3; 4/3)
[/tex3]
[tex3]C)[/tex3] [tex3](17/5; 13/5)[/tex3]

[tex3]D)[/tex3] [tex3](17/5;-13/5)[/tex3]

Resposta

---

Letra D.

[joaopcarvMOD]

Ortocentro é o encontro das alturas de um triângulo.

Vamos tratar as medidas (neste caso, lados, alturas) como constituintes, segmentos de retas.

Seja [tex3]\mathsf{C_{(x,y)}}[/tex3]. Logo, os segmentos (lados do [tex3]\triangle[/tex3]) [tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3] são constituintes de duas retas, que chamaremos de [tex3]\mathsf{r}[/tex3] e [tex3]\mathsf{s}[/tex3], respectivamente [tex3]\Longrightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\circ \ r \ :}[/tex3] Passa por [tex3]\mathsf{A_{(-2,1)}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{C_{(x,y)}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\underbrace{\mathsf{a_r}}_{\mathsf{coeficiente \ angular \ de \ r}} \ \mathsf{= \ \dfrac{y \ - \ 1}{x \ + \ 2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\circ \ s \ :}[/tex3] Passa por [tex3]\mathsf{B_{(3,-4)}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{C_{(x,y)}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\underbrace{\mathsf{a_s}}_{\mathsf{coeficiente \ angular \ de \ s}} \ \mathsf{= \ \dfrac{y \ + \ 4}{x \ - \ 3}}[/tex3]

A reta [tex3]\mathsf{h_1}[/tex3], que passa por [tex3]\mathsf{A_{(-2,1)}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{H_{(5,-1)}}[/tex3] contém a altura relativa ao lado [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3], logo é perpendicular à reta [tex3]\mathsf{s}[/tex3], que contém tal lado.

[tex3]\mathsf{\underbrace{\dfrac{-1 \ - \ 1}{5 \ + \ 2}}_{coef. \ angular \ de \ h_1}} \mathsf{\ \cdot \ a_s \ = \ -1 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{y \ + \ 4}{x \ - \ 3} \ = \ -1 \ \cdot \ \dfrac{7}{-2} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{y \ + \ 4}{x \ - \ 3} \ = \ \dfrac{7}{2} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2\cdot y \ + \ 8 \ = \ 7\cdot x \ - \ 21 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{7\cdot x \ - \ 2\cdot y \ = \ 29}} \ \mathsf{(I)}[/tex3]

Já a reta [tex3]\mathsf{h_2}[/tex3], que passa por [tex3]\mathsf{B_{(3,-4)}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{H_{(5,-1)}}[/tex3] contém a altura relativa ao lado [tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3], portanto é perpendicular à reta [tex3]\mathsf{r}[/tex3], que contém esse lado.

[tex3]\mathsf{\underbrace{\dfrac{-1 \ + \ 4}{5 \ - \ 3}}_{coef. \ angular \ de \ h_2}} \mathsf{\ \cdot \ a_r \ = \ -1 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{y \ - \ 1}{x \ + \ 2} \ = \ -1 \ \cdot \ \dfrac{2}{3} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{y \ - \ 1}{x \ + \ 2} \ = \ \dfrac{-2}{3} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{3\cdot y \ - \ 3 \ = \ -2\cdot x \ - \ 4 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{2\cdot x \ + \ 3\cdot y \ = \ -1}} \ \mathsf{(II)}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\mathsf{7\cdot x \ - \ 2\cdot y \ = \ 29 \ (I)} \\
\mathsf{2\cdot x \ + \ 3\cdot y \ = \ -1 \ (II)}
\end{cases}[/tex3]

Multiplicando [tex3]\mathsf{(I)}[/tex3] por [tex3]\dfrac{3}{2}[/tex3] e somando [tex3]\mathsf{(I) \ + \ (II) \ :}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{7 \cdot 3 \cdot x}{2} \ + \ 2 \cdot x \ \cancel{-3 \cdot y \ + \ 3\cdot y} \ = \ \dfrac{29 \cdot 3}{2} \ - \ 1 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{25\cdot x}{\cancel{2}}} \ = \ \mathsf{\dfrac{85}{\cancel{2}}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{x \ = \ \dfrac{17}{5}}}[/tex3]

Substituindo em qualquer equação, achamos [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{7\cdot \dfrac{17}{5} \ - \ 2\cdot y \ = \ 29}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{119 \ - \ 29\cdot5}{5} \ = \ 2\cdot y} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{-26}{5} \ = \ 2\cdot y \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{y \ = \ \dfrac{-13}{5}}}[/tex3]

Logo, [tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{C_{\big(\frac{17}{5},\frac{-13}{5}\big)}}}}[/tex3]

[Ronny]

Muito obrigado Joao !!

[joaopcarvMOD]

Off Topic

Muito obrigado Joao !!

De nada boa noite

[Lucabral]

joaopcarv, Quando tentei resolver,fiquei um pouco confusa acerca de qual quadrante está o vértice C,observando os vértices dá pra supor que ele vai está ou no 1º ou no 3º. Só que pelo desenho das retas que você fez B e H só vão conter a altura relativa ao lado AC se este estiver no 3º quadrante. Então,não dá pra "supor o quadrante".Como definir antes de começar a resolver,é possível?

[joaopcarvMOD]

Ronny e Lucabral, como fica o triângulo, caso ajude em algo [tex3]\rightarrow [/tex3]

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Lucabral, eu estou pensando melhor a respeito do raciocínio que você usou. Eu não acho que dê para determinar se o triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo, e isso altera a posição relativa do ortocentro ao triângulo.

Logo, eu realmente acho que não se pode supor isso com precisão antes de se fazer as contas. Não se pode supor justamente porque o triângulo, quando se lê o enunciado, pode ser que tenha o seu ortocentro dentro ou fora da área triangular. Isso torna a suposição mais incerta. Realmente eu não sei se existe um método seguro para se "supor quadrantes" quando não é algo tão óbvio, mas acredito que não.

[Lucabral]

joaopcarv, Muito obrigada pela atenção!