Pré-Vestibular ⇒ (UNIFEI) Geometria Espacial: Prisma x Cubo Tópico resolvido

[Doug]

A área total de um cubo é [tex3]18\sqrt[3]{4}\,\text{m}^{2}[/tex3] e esse cubo é equivalente a um prisma triangular regular cuja aresta lateral mede o triplo da aresta da base. Determine, em metros, a aresta da base desse prisma.

Resposta

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2

[adrianotavares]

• [tex3]\ell :[/tex3] aresta do prisma
  [tex3]A_c = 6 a^2[/tex3]
  [tex3]6 a^2 = 18\sqrt[3]{4}[/tex3]
  [tex3]a^2 =3 \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{108}[/tex3]
  [tex3]a =\sqrt{ \sqrt[3]{108}} = \sqrt[6]{108}[/tex3]

Se eles são equivalentes, então seus volumes são iguais e podemos escrever:

• [tex3]V_c = V_p[/tex3] (1)

• [tex3]V_c = a^3= (\sqrt[6]{108})^3=\sqrt{108}[/tex3]

Como o prisma é regular sua base é um triângulo equilátero de área igual a :

• [tex3]A =\frac{ \ell ^2} {4} .\sqrt {3}[/tex3]
  [tex3]V_p =\frac{ \ell ^2} {4} \cdot\sqrt {3} \cdot 3 \ell =3\cdot \frac { \ell^3}{4}\sqrt{3}[/tex3]

• [tex3]V_c = V_p[/tex3] (1)
  [tex3]\sqrt{108} = 3\cdot \frac { \ell^3}{4}\sqrt{3}[/tex3]
  [tex3]6\sqrt{3} = 3\cdot \frac { \ell^3}{4}\sqrt{3}[/tex3]
  [tex3]\ell ^3 = 8[/tex3]
  [tex3]\ell = \sqrt[3]{8} = 2 \text{ m}[/tex3]

[Doug]

Opa, esse exercício até hoje eu não tinha conseguido resolver.
Muito obrigado adrianotavares, abraço e t+