IME / ITA ⇒ (AFA - 1998) Trigonometria: Inequação Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O conjunto-solução da inequação [tex3]\frac{1}{4} \leq\text{sen}x cos x <\frac{\sqrt2}{2},[/tex3] para [tex3]0 \leq x \leq \pi,[/tex3] é:

a) [tex3]\{x \in \mathbb{R}|\frac{\pi}{12} \leq x < \frac{\pi}{6}\}.[/tex3]
b) [tex3]\{x \in \mathbb{R}|\frac{\pi}{12} < x < \frac{5\pi}{3}\}.[/tex3]
c) [tex3]\{x \in \mathbb{R}|\frac{5\pi}{12} \leq x \leq \frac{5\pi}{6}\}.[/tex3]
d) [tex3]\{x \in \mathbb{R}|\frac{\pi}{12} \leq x \leq \frac{5\pi}{12}\}.[/tex3]

[SoNiC]

• [tex3]\frac{1}{4} \leq \sen x \cos x <\frac{\sqrt2}{2}[/tex3]

Multiplicando por [tex3]2[/tex3] todos os membros

• [tex3]\frac{1}{2} \leq 2\cdot \sen x\cdot \cos x < \sqrt{2}[/tex3]
  [tex3]\frac{1}{2} \leq \sen(2x) < \sqrt{2}[/tex3]

Obviamente, qualquer seno já é menor do que [tex3]\sqrt{2},[/tex3] então basta que:

• [tex3]\frac{1}{2} \leq \sen(2x)[/tex3]

Como [tex3]x[/tex3] varia de [tex3][0;\pi],[/tex3]

• [tex3]\frac{\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{5\pi}{6}[/tex3]
  [tex3]\frac{\pi}{12} \leq x \leq \frac{5\pi}{12}[/tex3]

Alternativa (d).