Ensino Médio ⇒ Sistema de equações trigonométricas Tópico resolvido

[MatheusBorgesMOD]

Resolver em reais:
[tex3]\begin{cases}
\cos x+\cos y=\frac{1}{2} \\
\tg x +\tg y=2
\end{cases}[/tex3]

Não possuo Gabarito

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[jvmago]

encontrei aqui [tex3]4cos^4x+12cos^3x+13cos^2x-4=0[/tex3]

[jvmago]

Acho que descobri um método mas vai ser trabalhoso, vou ver se sai

[MatheusBorgesMOD]

jvmago, essa questo é do Pir2: https://pir2.forumeiros.com/t145261-res ... a-a-seguir
Ninguém conseguiu fazer lá ainda. Eu tentei e travei também. Vamos vê se algum mito faz aqui.

[jvmago]

todos os caminhos algébricos que conheço ja testei aqui, creio que deva ser alguma igualdade entre arcos. Prostaferése parecia uma boa mas só complica mais

[petrasMOD]

Segue resolução que consegui com o colega gkov.

[tex3]\begin{cases}
\cos x+\cos y=\frac{1}{2} (1)\\
\tg x +\tg y=2 (2)
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\\ Subtraindo (tgy+1)~ de~ (2) ~e~elevando~ao~quadrado, \rightarrow\\
(tgx-1)^2 = (1-tgy)^2 \rightarrow tg^2x+1-2tg x = tg^2y+1-2tg y \rightarrow \frac{1}{\cos^2x}-2tg x =\frac{1}{\cos^2y}-2tg y\\
Substituindo ~tgy=2-tgx ~e~rearranjando~os~resultados~teremos:\\
\frac{1}{cos^2x}-\frac{1}{cos^2y}+4=4tgx=4\frac{senx}{cosx}\\
Substituindo~ cosy=\frac{1}{2}-cosx\rightarrow \frac{1}{cos^2x}-\frac{cosx}{(\frac{1}{2}-cosx)^2}+4cosx=4senx \rightarrow elevando~ ao~ quadrado:\\
(\frac{1-4cosx+4cos^2x-16cos^3x+16cos^4x)^2}{cos^2x(1-2cosx)^4}=16sen^2x=16(1-cos^2x)\\
Assumindo~cosx \neq 0,~1-cos^2x\neq0,~fazendo~cosx=t\rightarrow \\
512t^8-1024t^7+512t^6+128t^5-192t^4+64t^3+8t^2-8t+1=0(fatorando)\rightarrow \\
(32t^4-32t^3+4t-2-\sqrt2)(32t^4-32t^3+4t-2+\sqrt2)[/tex3]
[tex3]Raízes:\\
t_1 = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{3+2\sqrt{5+2\sqrt2}} \\
t_2 = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{3+2\sqrt{5+2\sqrt2}} \\
t_3 = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{3+2\sqrt{5-2\sqrt2}} \\
t_4 = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{3+2\sqrt{5-2\sqrt2}} \\
t_5 = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{3-2\sqrt{5-2\sqrt2}} \\
t_6 = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{3-2\sqrt{5-2\sqrt2}} \\
t_2 = \frac{1}{2}-t1\\
t_4 = \frac{1}{2}-t3\\
t_6 = \frac{1}{2}-t5\\
Basicament~podemos~considerar~apenas~3~delas:x=\pm arcos(t_i)+2\pi n,~y=\pm arcos(\frac{1}{2}-t_i)+2 \pi m[/tex3]
[tex3]\text{Checando as combinações de sinais que satisfazem teremos os 3 pares adequados}~de~x,y~para~n=m=0:\\
(arccost_1,~-arccos(\frac{1}{2}-t_1))\approx(0,1848292031, -2,074837017)\\

(-arccost_3,~-arccos(\frac{1}{2}-t_3))\approx(-0,5361638202, -1,938715548)\\

(arccost_5,~-arccos(\frac{1}{2}-t_5))\approx(-1,258318311, 1,377003189)\\[/tex3]