Ensino Superior ⇒ Algebra Linear II - Transformacao Linear Tópico resolvido

[Ronny]

Sejam [tex3]P_{\leq 2}[x][/tex3] o espaco vectorial real dos polinomios de grau menor ou igual a dois com coeficientes reais e a transformacao [tex3]f:P_{\leq 2}[x]\rightarrow \mathbb{R}^{2}[/tex3] definida por:

[tex3]f(ax^2+bx+c)=(a+b;c)[/tex3]

Determine se [tex3]f[/tex3] 'e uma transformacao linear.

Não possuo Gabarito

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[lorramrj]

>>> RESPOSTA CORRIGIDA!

Para ser linear.

i) Verificamos a existência do elemento nulo.
Tomamos [tex3]a=b=c=0[/tex3]
Logo: [tex3]f(0) = (0+0,0) = (0,0) [/tex3]OK

ii) Sejam [tex3]p_1[/tex3] e [tex3]p_2[/tex3] elementos do domínio de [tex3]f[/tex3] e [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3].
Verificamos se f é fechado pela soma e pela multiplicação por escalares:

[tex3]\boxed{f(p1+\lambda p2) = f(p1) + \lambda f (p_2)}[/tex3]

Onde:
[tex3]p_1 = a_1x^2+b_1x+c_1[/tex3]
[tex3]p_2 = a_2x^2+b_2x+c_2[/tex3]

Primeiro achamos o polinômio resultante que queremos aplicar a transformação.
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = (a_1x^2+b_1x +c_1) + \lambda(a_2x^2+b_2x+c_2) [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = a_1x^2+ \lambda a_2x^2 + b_1x + \lambda b_2x +c_1 + \lambda c_2 [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = (a_1+\lambda a_2)x^2 + (b_1 +\lambda b_2)x + (c_1+\lambda c_2) [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = a'x^2 + b'x + c'[/tex3]

Logo esperemos que:
[tex3]f(a'x^2+b'x + c')=(a'+b',c')[/tex3]

Então verificamos o lado direito do que queremos provar:
Logo:
[tex3]f(p1+\lambda p2) = (a_1+b_1,c_1) + (\lambda a_2+\lambda b_2,\lambda c_2) [/tex3]
[tex3]f(a'x^2+b'x+c') = (a_1+\lambda a_2 + b_1+ \lambda b_2, c_1+\lambda c_2) = (a' +b', c')[/tex3]

Portanto [tex3]f[/tex3] é uma TL.

[Ronny]

vc e o cara !! obrigadao !!

[lorramrj]

Me desculpe Ronny cometi alguns erros na segunda parte da resolução. Agora já corrigida!

[Ronny]

Normalmente, quando resolvo esse tipo de transformacao nao uso essa formulinha, minha duvida e: Essa forma de provar essa aplicacao linear e quando temos casos de polinomios? Normalmente os exercicios que acho sao tipo T(x,y)= (x+y, y), prove que e uma transformacao linear, mas quando vi dessa maneira, fiquei muito confuso, e saiu num teste meu

[lorramrj]

Bom essa forma prova para qualquer espaço que você estiver trabalhando (seja polinômio, vetores, matrizes e etc...)
Se provamos que o elemento nulo do domínio é levado ao elemento nulo do contradomínio pela transformação e provamos que a transformação é fechada pela soma e multiplicação por um escalar, então provamos que se trata de uma Transformação Linear.

Nesse caso temos:

[tex3]T(x,y)= (x+y, y)[/tex3]

i) Existência do elemento neutro: tome [tex3]x=y=0[/tex3]
[tex3]T(0,0)=(0+0,0)=(0,0)...[/tex3]OK

ii) Seja [tex3]\vec{u}[/tex3] e [tex3]\vec{v}[/tex3] dos elementos do domínio de T e [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3].

Tal que:
[tex3]\vec{v} =(x_1,y_1)[/tex3]
[tex3]\vec{u} =(x_2,y_2)[/tex3]

Queremos provar que: [tex3]T(u+\lambda v)= T(u)+\lambda T(v)[/tex3]

Temos:
[tex3]u+ \lambda v = (x_1,y_1)+ \lambda(x_2,y_2) = (x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2)[/tex3]
Logo queremos achar pela TL:
[tex3]T(u+\lambda v)= T(x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2) = (x_1+\lambda x_2 +y_1+\lambda y_2,\space y_1+\lambda y_2)=(x_1+y_1+\lambda(x_2+y_2),y_1+\lambda y_2)[/tex3]

Logo desenvolvendo o lado direito da igualdade acima:
[tex3]T(u+\lambda v)= T(u)+\lambda T(v)[/tex3]
[tex3]T(u+\lambda v)= (x_1+y_1,y_1) +\lambda(x_2+y_2,y_2)[/tex3]
[tex3]T(u+\lambda v)= (x_1 + y_1 + \lambda(x_2+y_2), \space y_1 + \lambda y_2)[/tex3]

Portanto T é uma TL.