IME / ITA ⇒ (ITA - 1973) Função Exponencial: Decaimento Radioativo Tópico resolvido

[claudiomarianosilveira]

A lei de decomposição do radium no tempo [tex3]t\geq 0 ,[/tex3] é dada por [tex3]M(t)=C\cdot e^{-kt},[/tex3] onde [tex3]M(t)[/tex3] é a quantidade de radium no tempo [tex3]t;[/tex3] [tex3]C[/tex3] e [tex3]k[/tex3] são constantes positivas e [tex3]e[/tex3] é a base do logaritmo natural. Se a metade da quantidade primitiva [tex3]M(0) ,[/tex3] desaparece em [tex3]1600[/tex3] anos, qual a quantidade perdida em [tex3]100[/tex3] anos?

a) [tex3](1-100^{-1})[/tex3] da quantidade inicial.
b) [tex3](1-2^{-6})[/tex3] da quantidade inicial.
c) [tex3](1-2^{-16})[/tex3] da quantidade inicial.
d) [tex3](1-2^{-\frac{1}{16}})[/tex3] da quantidade inicial.
e) n.d.a.

[adrianotavares]

Para [tex3]t = 0[/tex3] temos a quantidade inicial:

• [tex3]M(t) = C e^{-kt}[/tex3]
  [tex3]M(0) = C e ^{-k\cdot 0}[/tex3]
  [tex3]M(0) = C[/tex3]

Como a metade da quantidade primitiva desaparece em [tex3]1600[/tex3] anos podemos escrever:

• [tex3]\frac{C}{2} = C\cdot e^{-1600k}[/tex3]
  [tex3]\frac{1}{2} = e^{-1600k}[/tex3]
  [tex3]\frac{1}{2} = \(e^{-100k}\)^{16}[/tex3]
  [tex3]e^ {-100k} = \sqrt[16]{\frac{1}{2}}[/tex3]
  [tex3]e^{-100k} = \(2^{-1}\)^{\frac{1}{16}}[/tex3] (1)

• [tex3]M(100) = C \cdot e^{-100k}[/tex3] (2)

Substituindo (1) em (2) temos:

• [tex3]M(100) = C \cdot 2^{-\frac{1}{16}}[/tex3]
  [tex3]M(0)- M(100) = C - C \cdot 2^{-\frac{1}{16}}[/tex3]
  [tex3]M(0)- M(100) = C \cdot \(1 - 2^{-\frac{1}{16}}\)[/tex3]

Alternativa (d).