Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 1999) Geometria Espacial: Prisma

[Karl Weierstrass]

Observe a figura.

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Essa figura representa uma piscina retangular com [tex3]10\, \text{m}[/tex3] de comprimento e [tex3]7\, \text{m}[/tex3] de largura. As laterais [tex3]AEJD[/tex3] e [tex3]BGHC[/tex3] são retângulos, situados em planos perpendiculares ao plano que contém o retângulo [tex3]ABCD[/tex3]. O fundo da piscina tem uma área total de [tex3]77\, \text{m}^2[/tex3] e é formado por dois retângulos, [tex3]FGHI[/tex3] e [tex3]EFIJ[/tex3]. O primeiro desses retângulos corresponde à parte da piscina onde a profundidade é de [tex3]4\, \text{m}[/tex3] e o segundo, a parte da piscina onde a profundidade varia entre [tex3]1\, \text{m}[/tex3] e [tex3]4\, \text{m}[/tex3]. A piscina, inicialmente vazia, recebe água à taxa de [tex3]8.000[/tex3] litros por hora.
Assim sendo, o tempo necessário para encher totalmente a piscina é de:

a) [tex3]29\text{ h} \text{ e } 30 \text{ min}[/tex3]
b) [tex3]30 \text{ h}\text{ e } 15 \text{ min}[/tex3]
c) [tex3]29 \text{ h}\text{ e } 45 \text{ min}[/tex3]
d) [tex3]30\text{ h} \text{ e } 25 \text{ min}[/tex3]

[adrianotavares]

[tex3]IJ = y\\
HI = x[/tex3]

Como a soma das áreas desses retângulos é igual [tex3]77 \text{m}^2[/tex3] podemos esrever:

• [tex3]7 x + 7 y = 77[/tex3]
  [tex3]7( x + y ) = 77[/tex3]
  [tex3]x + y = 11[/tex3]
  [tex3]y = 11 - x[/tex3] (1)

O segmento [tex3]CD[/tex3] é igual a [tex3]10 ,[/tex3] como o segmento [tex3]HI[/tex3] é igual a [tex3]x[/tex3] e é paralelo ao segmento [tex3]DE[/tex3] podemos dizer que o comprimento do segmento que está faltando para [tex3]HI[/tex3] ser igual ao [tex3]CD[/tex3] é [tex3]10 - x.[/tex3]

Observando a figura verifica-se também que do ponto [tex3]J[/tex3] até o chão o segmento perpendicular a [tex3]HI[/tex3] é igual a [tex3]3.[/tex3]

Podemos agora formar um prisma cuja base é um triângulo retângulo de catetos [tex3]3,\, (10 - x)[/tex3] e hipotenusa igual a [tex3]y .[/tex3] A sua altura é igual a [tex3]7\text{m}.[/tex3]

• [tex3]y^2 = 3^2 + (10 - x )^2[/tex3] (2)

Substituindo (1) em (2) temos:

• [tex3](11 - x )^2 = 3^2 + (10 - x )^2[/tex3]
  [tex3]121 - 22 x + x^2 = 9 + 100 - 20 x + x^2[/tex3]
  [tex3]121 - 22 x = 109 - 20 x[/tex3]
  [tex3]2 x = 12[/tex3]
  [tex3]x = 6\text{m}[/tex3]

• [tex3]y = 11 - x[/tex3]
  [tex3]y = 5[/tex3]

Calculando o volume do prisma temos:

• [tex3]V_p = A_b . h[/tex3]
  [tex3]V_p = 7 \(\frac{3 \cdot 4}{2}\)[/tex3]
  [tex3]V_p = 42 \text{m}^3[/tex3]

O volume da piscina é igual a :

• [tex3]280 - 42 = 238 \text{m}^3[/tex3]
  
  [tex3]8000 \ell[/tex3] correnponde a [tex3]8 \text{m}^3[/tex3]

O tempo total é :

• [tex3]t=\frac{238 \text{m}^3}{8 \text{m}^3}[/tex3]
  [tex3]t = 29,75 \text{h}[/tex3]
  [tex3]t = 29 \text{ h e } 45 \text{min}[/tex3]

Alternativa (c).