IME / ITA ⇒ (ITA - 1975) Logaritmos e Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Seja [tex3]S=\log_3(\text{tg}x_1)+\log_3(\text{tg}x_2)+\log_3(\text{tg}x_3)+\ldots,[/tex3] onde [tex3]x_1=\frac{\pi}{3}[/tex3] e [tex3]x_{n+1}=\text{arctg} (\sqrt{\text{tg}x_n})[/tex3] para [tex3]n=2, 3,\ldots[/tex3]

Nestas condições, podemos assegurar que:

a) [tex3]S=\log_3(\text{tg}x_1+\text{tg}x_2+\text{tg}x_3+\ldots).[/tex3]
b) [tex3]S=-1.[/tex3]
c) [tex3]S=2.[/tex3]
d) [tex3]S=1.[/tex3]
e) nenhuma das anteriores.

[jneto]

Escrevendo a expressão dada numa forma compacta:

• [tex3]S = \sum_{n=1}^{\infty} \log_{3}(\text{tg}(x_{n}))[/tex3]

Agora, como [tex3]\text{tg}(x_{n+1}) = \sqrt{\text{tg}(x_{n})}[/tex3], temos:

• [tex3]\text{tg}(x_{2}) = \sqrt{\text{tg}(\frac{\pi}{3})} = 3^{\frac{1}{2^{2}}} \\
  \text{tg}(x_{3}) = \sqrt{\text{tg}(x_{2})} = 3^{\frac{1}{2^{3}}} \\
  \text{tg}(x_{4}) = \sqrt{\text{tg}(x_{3})} = 3^{\frac{1}{2^{4}}} \\
  \text{tg}(x_{5}) = \sqrt{\text{tg}(x_{4})} = 3^{\frac{1}{2^{5}}} \\
  \text{ }\vdots \\
  \text{tg}(x_{n}) = \sqrt{\text{tg}(x_{n-1})} = 3^{\frac{1}{2^{n}}}[/tex3]

Levando este resultado na fórmula da soma:

• [tex3]S = \sum_{n=1}^{\infty} \log_{3}(\text{tg}(x_{n})) = \log_{3}(\prod_{n=1}^{\infty} \text{tg}(x_{n})) = \\
  = \log_{3}(\prod_{n=1}^{\infty} 3^{\frac{1}{2^{n}}}) = \log_{3}(3^{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}})[/tex3]

Como [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} = 1[/tex3]:

• [tex3]S = \sum_{n=1}^{\infty} \log_{3}(\text{tg}(x_{n})) = \log_{3}(3^{1}) = 1[/tex3]

Resposta: alternativa (d).