IME / ITA ⇒ (EN - 1991) Números Complexos e Cônicas Tópico resolvido

[mvgcsdf]

O lugar geométrico das imagens do complexo [tex3]z^2[/tex3] quando o complexo [tex3]z = x + yi[/tex3] ([tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] reais) descreve a reta [tex3]x = 2[/tex3] é:

a) a reta [tex3]x = 4[/tex3]
b) um círculo
c) uma elipse
d) uma hipérbole
e) uma parábola

[cajuADMIN]

Olá mvgcsdf,

Quando o complexo [tex3]z^2[/tex3] descreve a reta [tex3]x=2[/tex3], o valor de [tex3]x[/tex3] será constante e igual a [tex3]2[/tex3]. Ou seja, podemos substituir tal valor em [tex3]z[/tex3] e ver o que que dá:

[tex3]z^2=(2+yi)^2[/tex3]

[tex3]z^2=4+4yi-y^2[/tex3]

[tex3]z^2=-y^2+4+4yi[/tex3]

Ou seja, o complexo [tex3]z^2[/tex3] tem parte real igual a [tex3]{-}y^2+4[/tex3] e parte imaginária igual a [tex3]4y[/tex3].

Podemos fazer uma troca de variável para enxergar melhor. Digamos que [tex3]Y=4y[/tex3], daí o complexo fica:

[tex3]z^2=-\left(\frac Y4\right)^2+4+Yi[/tex3]

A parte real é uma função da parte imaginária. A parte imaginária é representada no eixo vertical [tex3](Y)[/tex3], e a parte real no eixo horizontal [tex3](X)[/tex3].
Assim, podemos concluir que as imagens de [tex3]z^2[/tex3], estarão sobre a curva:

[tex3]X=-\left(\frac Y4\right)^2+4[/tex3]

Que é uma parábola (com eixo de simetria horizontal).

[mvgcsdf]

Valeu, Caju!!