IME / ITA ⇒ (IME - 1968) Trigonometria: Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um triângulo tem um ângulo interno de [tex3]75^\circ[/tex3] e os outros ângulos internos definidos pela equação [tex3]3\sec x+m(\cos x - \text{sen} x)-3(\text{sen} x+\cos x)=0 .[/tex3] Determine o valor de [tex3]m .[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Se um dos ângulos é [tex3]75^\circ[/tex3] vamos dizer que os outros dois são [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]105^\circ-\alpha[/tex3]. Vou começar calculando algumas informações que iremos utilizar (não irei mostrar detalhes de como encontrei tais valores, acompanhe no lápis e confirme os cálculos. São manipulações básicas):

• [tex3]\sen(105^\circ)=\sen(45^\circ+60^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot(1+\sqrt 3)[/tex3]
  
  [tex3]\cos(105^\circ)=\cos(45^\circ+60^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot(1-\sqrt 3)[/tex3]
  
  [tex3]\sen(105^\circ-\alpha)=\frac{\sqrt 2}{4}\[\cos\alpha-\sen\alpha+\sqrt{3}(\cos\alpha+\sen\alpha)\][/tex3]
  
  [tex3]\cos(105^\circ-\alpha)=\frac{\sqrt 2}{4}\[\cos\alpha+\sen\alpha-\sqrt{3}(\cos\alpha-\sen\alpha)\][/tex3]
  
  [tex3]\sen\[2\cdot(105^\circ-\alpha)\]=2\cdot\sen(105^\circ-\alpha)\cdot\cos(105^\circ-\alpha)=\\=\frac{\sqrt 3}{2}\cdot\sen(2x)-\frac 12\cdot\cos(2x)\Longrightarrow\boxed{\sen\[2\cdot(105^\circ-\alpha)\]=-\cos(2\alpha+60^\circ)}[/tex3]
  
  [tex3]\cos^2(105^\circ-\alpha)=\frac 14\[2-2\sen(2x)-\sqrt{3}\cos(2x)\]\Longrightarrow\boxed{\cos^2(105^\circ-\alpha)=\frac 12\[1-\sen(2\alpha+60^\circ)\]}[/tex3]

Agora, sabendo estes valores quadriculados acima, podemos resolver a questão.

Vamos, então, manipular a expressão dada:

• [tex3]3\sec x+m(\cos x-\sen x)-3(\sen x+\cos x)=0[/tex3]
  
  [tex3]\frac{3}{\cos x}+m\cos x-m\sen x-3\sen x-3\cos x=0[/tex3]
  
  [tex3]3+(m-3)\cos^2x-(m+3)\sen x\cos x=0[/tex3]
  
  [tex3]\boxed{3+(m-3)\cos^2x=\Large \frac{(m+3)}{2}\large\sen 2x}[/tex3]

O enunciado nos diz que os ângulos pedidos são soluções da equação dada, e os ângulos pedidos são [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]105^\circ-\alpha[/tex3]. Ou seja, podemos substituir estes valores na equação acima. Vamos substituir [tex3]105^\circ-\alpha[/tex3]:

• [tex3]3+(m-3)\cos^2\(105^\circ-\alpha\)=\frac{(m+3)}{2}\sen\[2(105^\circ-\alpha)\][/tex3]

Agora colocamos na equação acima os primeiros valores encontrados:

• [tex3]3+(m-3)\cdot \frac 12\[1-\sen(2\alpha+60^\circ)\]=\frac{(m+3)}{2}\cdot\[-\cos(2\alpha+60^\circ)\][/tex3]
  
  [tex3]3+\frac{m-3}{2}-\(\frac{m-3}{2}\)\sen(2\alpha+60^\circ)+\frac{m+3}{2}\cos(2\alpha+60^\circ)=0[/tex3]
  
  [tex3]\frac{m+3}{2}+\frac{m+3}{2}\cos(2\alpha+60^\circ)=\(\frac{m-3}{2}\)\sen(2\alpha+60^\circ)[/tex3]
  
  [tex3](m+3)\{1+\cos\[2(\alpha+30^\circ)\]\}=(m-3)\sen\[2(\alpha+30^\circ)\][/tex3]
  
  [tex3](m+3)\[1+2\cos^2(\alpha+30^\circ)-1\]=(m-3)\cdot 2\sen(\alpha+30^\circ)\cos(\alpha+30^\circ)[/tex3]
  
  [tex3](m+3)\[\cos^2(\alpha+30^\circ)\]=(m-3)\sen(\alpha+30^\circ)\cos(\alpha+30^\circ)[/tex3]
  
  [tex3]\cos(\alpha+30^\circ)\[(m+3)\cos(\alpha+30^\circ)-(m-3)\sen(\alpha+30^\circ)\]=0[/tex3]

Para que esta expressão resulte ZERO, um dos fatores deve ser zero. Ou seja:

• [tex3]\cos(\alpha+30^\circ)=0\Longrightarrow\boxed{\alpha=60^\circ}[/tex3]

Devemos agora, substituir este valor de [tex3]\alpha[/tex3] na equação original e achar o valor de [tex3]m[/tex3]

• [tex3]\frac{3}{\cos(60^\circ)}+m\cdot\[\cos(60^\circ)-\sen(60^\circ)\]-3\cdot\[\cos(60^\circ)+\sen(60^\circ)\]=0[/tex3]
  
  [tex3]\frac{3}{\frac 12}+m\cdot\(\frac 12-\frac{\sqrt 3}{2}\)-3\cdot\(\frac{\sqrt 3}{2}+\frac 12\)=0[/tex3]
  
  [tex3]\boxed{m=3\sqrt 3}[/tex3]

[cajuADMIN]

Uma segunda solução seria:

Por inspeção, vemos que [tex3]x=45^\circ[/tex3] será sempre solução da expressão dada no enunciado, independente do valor de [tex3]m[/tex3].

• [tex3]3\sec(45^\circ)+m\[\cos(45^\circ) - \sin(45^\circ)\]-3\[\sin(45^\circ)+\cos(45^\circ)\]=0[/tex3]
  
  [tex3]3\sqrt 2+m\[\frac{\sqrt 2}{2} - \frac{\sqrt 2}{2}\]-3\[\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}\]=0[/tex3]
  
  [tex3]3\sqrt 2-3\sqrt 2=0[/tex3] OK

Agora podemos concluir que os ângulos do triângulo são [tex3]45^\circ[/tex3] e [tex3]60^\circ[/tex3].

Substituindo [tex3]x=60^\circ[/tex3] na expressão original achamos [tex3]m=3\sqrt 3[/tex3]

[ALDRINMOD]

Obrigado Professor, resolução de alto nível.